الرئيسية / اقتصاد / الرياضة المالية

الرياضة المالية

الرياضة المالية

المحتويات

الجزء الأول : الفائدة البسيطة

1 / 1 القيمة المستقبلية بفائدة بسيطة

1 / 2 القيمة الحالية بفائدة بسيطة

الجزء الثاني : الفائدة المركبة

2 / 1 الفائدة المركبة على مبلغ وحيد

والقيمة المستقبلية لمبلغ وحيد

2 / 2 معادلة القيمة المستقبلية لمبلغ وحيد يساوي وحدة النقد

2 / 3 جدول يبين القيمة المستقبلية عندما يكون أصل المبلغ الوحيد يساوي وحدة النقد

3 / 1 القيمة الحالية لمبلغ وحيد

3 / 2 جدول يبين القيمة الحالية عندما يكون المبلغ المركب الوحيد يساوي وحدة النقد

4 – الدفعة الدورية annuity

4 / 1 القيمة المستقبلية لدفعة دورية عادية

4 / 2 القيمة المستقبلية لدفعة دورية مقدمة

4 / 3 القيمة الحالية لدفعة دورية عادية

4 / 4 القيمة الحالية لدفعة دورية مقدمة

4 / 5  الدفعة المؤجلة

الجزء الثالث : الدفعة الدائمة  perpetuity

الجزء الرابع : استهلاك القرض عن طريق تقسيطه إلى دفعات عادية

 

الرياضة المالية هي علم يستخدم لحل المسائل المالية ،، وهي بذلك تشتمل على موضوعات أو مصطلحات شائعة الاستخدام مثل الفائدة البسيطة والفائدة المركبة والقيمة الحالية والقيمة المستقبلية واستهلاك القروض الخ

الجزء الأول : الفائدة البسيطة  Simple interest 

الفائدة (الفوائد) هي النقود التي تتحملها عندما تقترض نقود وهي بذلك تمثل تكلفة القرض أو هي النقود التي تكتسبها عندما تستثمر نقود على سبيل المثال عندما تقوم بإيداع نقود في البنك وهي بذلك تمثل العائد على الاستثمار ،، فكما أن النقود في مقابل استعمال عقارات الغير تـُسمى إيجار ،، فإن النقود في مقابل استخدام نقود الغير تـُسمى فائدة ،، وكما أن الإيجار بالنسبة للمستأجر يعتبر تكلفة أو مصروف ،، وفي نفس الوقت يعتبر إيراد بالنسبة للمؤجر (صاحب العقار) ،، فإن الفائدة بالنسبة للمقترض تعتبر تكلفة أو مصروف ،، وفي نفس الوقت تعتبر إيراد بالنسبة للمستثمر أو المـُقرض (الدائن) ،،

الفائدة البسيطة  على مبلغ وحيد single amount

وتوجد طريقتين لحساب الفائدة هما طريقة الفائدة البسيطة وطريقة الفائدة المركبة

بموجب طريقة الفائدة البسيطة فإن الفائدة يتم احتسابها على أصل المبلغ (المقترض أو المستثمر) فقط  principal  يعني لا يتم احتساب فائدة إطلاقاً على الفوائد المتراكمة من السنوات السابقة أو الفترات السابقة

بموجب طريقة الفائدة المركبة  فإن الفائدة عن فترة زمنية معينة يتم احتسابها على أصل المبلغ (المقترض أو المستثمر) principal  وعلى الفوائد المتراكمة من السنوات السابقة أو الفترات السابقة ،، وندرس الفائدة المركبة في الجزء الثاني من هذا المقال

الفائدة (مبلغ الفائدة) Interest (I) يعتمد حسابها على ثلاثة عوامل :

* أصل المبلغ (المقترض أو المستثمر) principal (P)  وهو النقود التي تم اقتراضها  أو النقود التي تم استثمارها أو إيداعها في البنك

* سعر الفائدة (معدل الفائدة) rate of interest (r) or (i)  ومعدل الفائدة يتم التعبير عنه في صورة نسبة مئوية من أصل المبلغ ،، على سبيل المثال معدل فائدة سنوي 10% يعني 10% من أصل المبلغ ،، على سبيل المثال عندما تقوم بإيداع مبلغ ألف جنيه في البنك لمدة سنة واحدة بمعدل فائدة سنوي 10% فإنك ستحصل على 10% فائدة يعني ستحصل على مائة جنيه

* المدة أو عدد الفترات الزمنية  (term / time (t) or number of periods (n

المدة هي مدة القرض أو مدة الاستثمار على سبيل المثال مدة إيداع النقود في البنك ،، والمدة لها بداية ولها نهاية ،، على سبيل المثال قرض لمدة سنة واحدة يبدأ في يناير 2018 وينتهي في يناير 2019  ،، والمدة قد تكون فترة زمنية واحدة أو عدد من الفترات الزمنية أو كسر اعتيادي على سبيل المثال سنة واحدة أو عشرة سنوات أو 9 / 12 سنة

* الفترة الزمنية (الفترة الدورية) هي فترة حساب الفائدة ،، ويطلق عليها فترة حساب الفائدة ،، والوضع الافتراضي للفترة الزمنية هو سنة ،، على سبيل المثال معدل فائدة 12% يعني معدل فائدة سنوي 12% طالما لم ينص صراحة على خلاف ذلك ،، وإذا كان الوضع الافتراضي للفترة الزمنية هو سنة فهذا لا يمنع أن تكون  الفترة الزمنية كل نصف سنة أو كل ربع سنة أو كل شهر ،، على سبيل المثال معدل فائدة نصف سنوي 6% أو معدل فائدة ربع سنوي 3% أو معدل فائدة شهري 1%

* المدة هي أهم عنصر من عناصر احتساب الفائدة ،، والمدة لها بداية ولها نهاية ،، والقيمة المستقبلية هي القيمة الحالية للنقود مضافاً إليها الفوائد ،، والقيمة المستقبلية تكون في نهاية المدة ،، والقيمة الحالية تكون في بداية المدة ،، على سبيل المثال عندما تقوم بإيداع مبلغ ألف جنيه في البنك بمعدل فائدة سنوي 10%  ولمدة سنة تبدأ من يناير 2018   وتنتهي في يناير 2019  فإنك ستحصل على مائة جنيه فائدة في يناير 2019  يعني القيمة المستقبلية في نهاية المدة هي ألف ومائة جنيه والقيمة الحالية في بداية المدة هي ألف جنيه ،، وتوجد طريقتين لحساب القيمة المستقبلية هما القيمة المستقبلية بفائدة بسيطة والقيمة المستقبلية بفائدة مركبة ،، وندرس الفائدة المركبة في الجزء الثاني من هذا المقال

الفائدة البسيطة يتم حسابها باستخدام المعادلة التالية :

الفائدة =  أصل المبلغ المقترض أو المستثمر ×  معدل الفائدة × المُدة

ف =  أ ×  ع × ن

Interest (I) = principal  × rate of interest × time = pin  

وعندما تكون المدة تساوي الواحد الصحيح (سنة واحدة) فإن المعادلة المذكورة أعلاه يمكن إعادة صياغتها بطريقة بسيطة كما يلي:

الفائدة =  أصل المبلغ المقترض أو المستثمر ×  معدل الفائدة

ف =  أ ×  ع

مثال :  أقترض شخص مبلغ مائة جنيه على أن يسددها بعد مدة خمسة سنوات بمعدل فائدة سنوي قدره 7% ،، فما هي الفوائد في تاريخ الاستحقاق وما هو الرصيد المستحق على هذا الشخص في نهاية الخمسة سنوات ،، إذا كانت الفائدة هي فائدة بسيطة (تحتسب على أصل القرض فقط ) ؟

الفوائد لمدة 5 سنوات =  100 جنيه × 7% ×  5 سنوات =   35 جنيه

الرصيد في نهاية الخمسة سنوات = 100 جنيه + 35  جنيه =  135  جنيهاً

S =  P + I  = 100 + 35 = 135

مبلغ المائة جنيه هو القيمة الحالية في بداية المدة present value (PV)  أو أصل المبلغ principal  أو القيمة الاسمية  face value ،، ومبلغ 135 جنيه هو القيمة المستقبلية في نهاية المدة future value (FV)  أو قيمة الاستحقاق maturity value أو المبلغ المسدد amount repay أو جملة المبلغ (جملة أصل المبلغ والفائدة) Sum of principal and interest (S)

 

1 / 1 القيمة المستقبلية بفائدة بسيطة

Simple interest future value

مثال

شخص اقترض مبلغ مائة جنيه الآن ،، واتفق على أن يسددها بعد خمسة سنوات من الآن ،  فما هي القيمة المستقبلية التي سيسددها إذا كانت الفوائد تحتسب بمعدل فائدة بسيطة  7%

* القيمة المستقبلية التي سيسددها هي جملة أو مجموع ما سيسدده ويساوي أصل القرض مضافاً إليه فوائد بسيطة عن خمسة سنوات

* القيمة المستقبلية =  أصل القرض ( 1 + معدل الفائدة × المُدة)

* القيمة المستقبلية =  100 (1 + 0.07 × 5 ) = 100 × 1.35 = 135

FV = PV (1+ in) = 100 (1 + 0.07 × 5 ) =  100 (1+0.35) = 100 (1.35) = 135

 

1 / 2 القيمة الحالية بفائدة بسيطة

Simple interest present value

إذا كان شخص مدين لشخص آخر بمبلغ 107 جنيه يستحق السداد بعد سنة من الآن ،، فهذا المبلغ يسمى بالقيمة المستقبلية ،، فإذا أراد هذا الشخص المدين سداد هذا الدين الآن قبل ميعاد استحقاقه فإن المبلغ الذي سيقوم بسداده الآن يطلق عليه القيمة الحالية وهي بالطبع أقل من القيمة المستقبلية (أقل من 107 جنيه)  ،، لنفترض أن معدل الفائدة البسيطة المتفق عليه هو 7%  لذا فإن القيمة الحالية الآن هي 100 جنيه ((107 ÷ 1.07)) ،، والفرق بين القيمة المستقبلية والقيمة الحالية يسمى بالخصم البسيط  simple discount وهو يساوي سبعة جنيهات ،، ومعدل الفائدة (7%) المستخدم في خصم القيمة المستقبلية للوصول إلى القيمة الحالية يطلق عليه معدل الخصم  discount rate

فالخصم هو المبلغ الذي يخصمه المدين من الدين ،، في مقابل سداد هذا الدين قبل ميعاد استحقاقه ،،  والقيمة الحالية هي المبلغ الذي لو تم استثماره بنفس معدل الفائدة (7%) حتى تاريخ استحقاق الدين فإنه سيساوى القيمة المستقبلية.

القيمة الحالية  = القيمة المستقبلية      

1+ع ن

PV= FV/(1+in)

مثال

دين قدره 135 جنيه مستحق الدفع بعد خمسة سنوات من الآن ،  فما هي القيمة الحالية له الآن إذا كانت الفوائد تحتسب بمعدل فائدة بسيطة  7%

القيمة الحالية  = القيمة المستقبلية/1+ع ن   =   135 / (1 + 0.07 × 5)    =   135 / 1.35 =  100

PV= FV/(1+in)  =  135/(1+0.07×5) =  135/(1+0.35)  =  135/(1.35)  =  100 

مثال

ما هو أصل المبلغ (القيمة الحالية) الذي يعطي فوائد 35 جنيه بعد خمسة سنوات ،، إذا كان معدل الفائدة البسيطة 7% سنوياً

القيمة الحالية = ف/ع ن = 35 / 0.07 × 5  = 35 / 0.35 = 100 جنيه

PV= I/in = 35/0.07 ×5 = 35/0.35  = 100

مثال

رجل أقترض مبلغ 100 جنيه وسدده بعد خمسة سنوات 135 جنيه فما هو معدل الفائدة البسيطة ؟!

الفائدة = جملة المبلغ – أصل المبلغ = القيمة المستقبلية – القيمة الحالية = 135 – 100 = 35 جنيه

معدل الفائدة = ف/أن = 35 / 100×5 = 35 / 500 = 7%

I = S – P = 135 – 100 = 35

i = I/Pn  =  35/100×5  =  35/500  = 7%

حل آخر

معدل الفائدة = (القيمة المستقبلية/القيمة الحالية  – 1) ÷ المدة = (135 / 100  – 1) ÷ 5 = (1.35- 1) ÷ 5 = 7%

 

مثال

القيمة الحالية لدين 100 جنيه والقيمة المستقبلية 135 جنيه ومعدل الفائدة البسيطة 7% سنوياً ،، فما هو عدد السنوات اللازمة لسداد هذا الدين

المدة = (القيمة المستقبلية/القيمة الحالية  – 1) ÷ ع = (135 / 100  – 1) ÷ 0.07 = (1.35  – 1) ÷ 0.07 = 0.35 ÷ 0.07 = 5 سنوات

حل آخر

الفائدة = جملة المبلغ – أصل المبلغ = القيمة المستقبلية – القيمة الحالية = 135 – 100 = 35 جنيه

المدة = ف/أع = 35 / 100×0.07 = 35 / 7 = 5 سنوات

I =  S – P  =  135 – 100  = 35

n = I/Pi  =  35/100×0.07  =  35/7  = 5 years

 

مثال

سند إذني مدته  ثلاثة شهور بمبلغ 1000 جنيه بفائدة 8%

الفوائد =  1000 × 8% × 12/3  =  20  جنيهاً

 

مثال

سند إذني مدته  90 يوماً بمبلغ 1000  جنيه بفائدة 8%

A 90-days, 8%, L.E 1000 note

فما هي قيمة الاستحقاق maturity value

الفوائد =  1000 × 8% ×  360/90 =  20  جنيهاً

قيمة الاستحقاق هي الحصيلة الإجمالية للسند الإذني promissory note  وهي تساوى القيمة الاسمية (القيمة المكتوبة على السند) face value  مضافاً إليها الفوائد في تاريخ الاستحقاق

* قيمة استحقاق سند إذني مدته  90 يوماً بمبلغ 1000  جنيه بفائدة 8%  يتم احتسابها كما يلي :

قيمة الاستحقاق =أصل القرض +  الفوائد = 1000 + 20  = 1020  جنيه

وفي حالة كون السند الإذني هو سند إذني بدون فوائد مذكورة عليه non-interest bearing note  فإن قيمة الاستحقاق تساوى القيمة الاسمية للسند الإذني

الجزء الثاني : الفائدة المُركبة

 

2 / 1 الفائدة المُركبة على مبلغ وحيد

 والقيمة المستقبلية لمبلغ وحيد

future value of a single amount

النقود يتم استثمارها عن طريق تسليفها أو إيداعها بالبنك لمدة قصيرة أو طويلة ،، وعندما يتم تسليفها أو إيداعها بالبنك لمدة طويلة فإن المستثمر يأخذ الفائدة كل فترة زمنية ،، فإن لم يأخذ الفوائد كل فترة زمنية (سنوية أو شهرية الخ) فإن الفوائد تضاف على أصل القرض أو أصل المبلغ المستثمر في نهاية كل فترة لغرض احتساب الفوائد عن الفترة الزمنية التالية وهذا ما يطلق عليه الفائدة المركبة ،، لذا إذا كانت المدة مكونة من فترة زمنية واحدة فلا توجد فائدة مركبة لعدم وجود فترات سابقة

* الفائدة المركبة Compound interest  هي الفائدة ـ عن كل فترة زمنية (سنة مثلاً) ـ التي تحتسب على أصل المبلغ (المقترض أو المستثمر) مضافاً إليه الفوائد من الفترات السابقة ،، يعني المبلغ الذي يتم احتساب الفائدة عليه لن يظل ثابتاً في كل سنة ،، ولكنه يتزايد بالفوائد المضافة عليه في الفترات السابقة ،، على سبيل التوضيح لنفترض أن المستثمر يترك الفوائد السنويةً للبنك ويعليها على أصل المبلغ المستثمر ،، إن كلمة مُركب compounded تعني شيء يتكون من أشياء مختلفة على سبيل المثال طبق مُركب (مكون) من أسماك وخضروات ،، وبهذا المعنى فإن المبلغ المطبق عليه معدل الفائدة يكون مبلغ مُركب من أصل المبلغ المقترض أو المستثمر والفوائد من الفترات السابقة ،، لذا فإن مفهوم الفوائد المركبة يشتمل على أكثر من فترة زمنية ،، والفائدة عن كل فترة زمنية يتم تركيبها (إضافتها أو تحويلها) compounded  على أصل المبلغ قبل حساب الفائدة عن الفترة الزمنية التالية والمبلغ النهائي في نهاية المدة يطلق عليه المبلغ المركب compound amount وعملية تراكم الفوائد على أصل المبلغ principal للحصول على المبلغ المركب يطلق عليها تراكم الفوائد المركبة ،، والفائدة المركبة  compound interest هي الفرق بين أصل المبلغ والمبلغ المركب ،، وفترات حساب الفائدة هي فترات منتظمة محددة ،، على سبيل المثال كل سنة أو كل نصف سنة أو كل ربع سنة أو كل شهر ،، ويطلق عليها فترة التحويل أو فترة حساب الفائدة conversion period or interest period ومعدل الفائدة لكل فترة تحويل يساوي معدل الفائدة السنوي annual interest rate مقسوماً على عدد فترات التحويل في السنة الواحدة ،، ويطلق على معدل الفائدة السنوي مصطلح معدل الفائدة السنوي الاسمي nominal annual rate (nominal rate) فإذا كان معدل الفائدة السنوي الاسمي هو 12% فإن معدل الفائدة لفترة تحويل سنوية annual conversion period هو 12% ،، ومعدل الفائدة لفترة تحويل نصف سنوية هو 6% ومعدل الفائدة لفترة تحويل ربع سنوية هو 3% ومعدل الفائدة لفترة تحويل شهرية هو 1%

مقارنة بين الفائدة البسيطة والفائدة المركبة

لمبلغ 100 جنيه بمعدل فائدة 7% لمدة خمسة سنوات والفوائد تضاف سنوياً

الفائدة البسيطة

نهاية السنة

الفائدة المركبة

100 ×7%  =  7 الأولى 100  ×7%   =  7
100× 7%   =  7 الثانية 107 × 7%   =  7.49
100× 7%   =  7 الثالثة  114.49 ×7 % =  8.01
100× 7%   =  7 الرابعة 122.5 × 7% =  8.58
100× 7%   =  7 الخامسة 131.07× 7%   =  9.17
مجموع الفائدة 35   مجموع الفائدة 40.25

المبلغ المركب في السنة الثانية = 100 + 7 = 107 جنيه

المبلغ المركب في السنة الثالثة = 107 + 7.49 = 114.49 جنيه وهكذا

مثال

أودع شخص مبلغ ألف جنيه في البنك ،، لمدة سنة ،، بمعدل فائدة سنوي قدره  12%  ،، فما هي القيمة المستقبلية لهذا المبلغ ،، يعني ما هو المبلغ المركب بفرض أن الفوائد يتم تركيبها (إضافتها) ربع سنوياً ،، و في حالة ما إذا كان المستثمر يأخذ الفوائد من البنك كل ربع سنة فما هي الفائدة البسيطة ؟

الحــــــل

معدل الفائدة الربع سنوي = 12% ÷ 4 فترات تحويل = 3%

الفائدة البسيطة نهاية الفترة الفائدة المركبة
1000 × 3%  = 30 الأولى  1000  × 3%   =  30
1000× 3%   = 30 الثانية  1030×  3%   = 30.90
1000× 3%   = 30 الثالثة 1060.90× 3%   =  31.83
1000× 3%   = 30 الرابعة 1092.73 × 3%   = 32.78
مجموع الفائدة البسيطة 120   مجموع الفائدة المركبة 125.51

معدل الفائدة السنوي الفعلي ( الحقيقي) effective annual interest rate (effective rate) هو معدل الفائدة الذي يتم تركيبه (إضافته) سنوياً على أصل المبلغ ،، فإذا افترضنا أن الفوائد يتم تركيبها سنوياً في مثالنا السابق سنجد أن الفائدة البسيطة تساوي الفائدة المركبة تساوي 120 جنيه لأن المُدة لا تحتوي إلا على فترة تحويل واحدة ،، ولكن في مثالنا السابق كانت الفائدة يتم تركيبها (إضافتها) ربع سنوياً على أصل المبلغ ،، فرغماً من أن معدل الفائدة السنوي أو الاسمي 12% annual percentage rate ( nominal rate) إلا أن الفائدة يتم تركيبها ربع سنوياً على أصل المبلغ مما أدى إلى معدل فائدة سنوي فعلي يساوي 12.551 % (( 125.51 ÷ 1000 )) يعني معدل فائدة 12.551 % يتم تركيبها سنوياً  يعادل أو يكافئ معدل فائدة 12 % يتم تركيبها ربع سنوياً

2 / 2 معادلة القيمة المستقبلية عندما يكون أصل المبلغ الوحيد يساوي وحدة النقد

* نعرض فيما يلي المعادلة المستخدمة لإيجاد القيمة المستقبلية (المبلغ المركب) عندما يكون أصل المبلغ الوحيد يساوي وحدة النقد مثل الجنيه الواحد أو الدولار الواحد ،، ومعدل الفائدة المركبة يساوي ع %  لكل فترة زمنية ،، لمدة ن فترات زمنية متساوية ( سنوات أو شهور الخ ))

القيمة المستقبلية لوحدة النقد =  (1 + ع)ن

FV =  (1 + i)N

Future Value (of one pound or one dollar) = FV

   Interest rate = i 

 number of periods = n

ع   =  معدل الفائدة لكل فترة زمنية

ن   =  عدد الفترات الزمنية

وحدة النقد هي الجنيه الواحد أو الدولار الواحد أو أي وحدة نقد أخرى

القيمة المستقبلية لوحدة النقد يمكن إيجادها إما باستخدام المعادلة المذكورة أعلاه أو باستخدام جدول المبلغ المركب (جدول القيمة المستقبلية) عندما يكون أصل المبلغ يساوي وحدة النقد  ،، وهذا الجدول مذكور أدناه ،،   ولكن في حالة عدم وجود معدل الفائدة المطلوب بجدول المبلغ المركب فإننا نضطر إلى استخدام المعادلة

في المعادلة المذكورة أعلاه افترضنا أن أصل المبلغ الوحيد يساوي وحدة النقد ،، وفي المعادلة المذكورة أدناه افترضنا أن أصل المبلغ الوحيد يساوي أي رقم بخلاف الواحد الصحيح ،،

القيمة المستقبلية أصل المبلغ الوحيد × (1 + ع)ن

 

مثال افتراضي : 

أودع شخص مبلغ جنيه واحد في البنك ،، وتركه لمدة خمسة سنوات ،، بمعدل فائدة سنوي قدره  7%  فما هي القيمة المستقبلية لهذا الجنيه الواحد ،، يعني ما هي جملة المبلغ أو المبلغ المركب أو قيمة الاستحقاق maturity value إذا كانت الفوائد يتم تركيبها (إضافتها) سنوياً  compounded annually

القيمة المستقبلية لوحدة النقد =  (1 + ع)ن =  (1 + 0.07)5

=  (1 + 0.07) ×(1 + 0.07) ×(1 + 0.07) ×(1 + 0.07) ×(1 + 0.07)

= (1.07) ×(1.07) ×(1.07) ×(1.07) ×(1.07) = 1.4025517 جنيه

* أكتب الرقم 1.07 على الآلة الحاسبة العادية (البسيطة) ،، واضغط  على علامة الضرب مرتين ،، ثم اضغط على علامة يساوي أربعة مرات ،، لتحصل على الرقم 1.4025517

حل آخر باستخدام جدول المبلغ المركب (جدول القيمة المستقبلية)

بالبحث في جدول المبلغ المركب (جدول القيمة المستقبلية) عندما يكون أصل المبلغ يساوي وحدة النقد المذكور أدناه نجد أن القيمة المستقبلية لجنيه واحد بمعدل فائدة مركبة 7%  لمدة خمسة فترات زمنية متساوية تساوى  1.40255 جنيه وهي تقاطع الصف خمسة فترات زمنية مع عمود معدل الفائدة 7%

* ملحوظة : جداول الفائدة المركبة تحتوي على خطأ التقريب rounding error إلى خمسة أرقام عشرية ،، يعني وجود فرق بسيط جداً بين الرقم المقرب والرقم الفعلي بدون تقريب

* ملحوظة : عندما يكون أس المُعامل (1 + ع)ن كبيراً في المعادلة المذكورة أعلاه ،، يعني عدد الفترات الزمنية (ن) كبيراً ،، فإن استخدام جدول المبلغ المركب (جدول القيمة المستقبلية) يكون أسهل من استخدام المعادلة ،، وكل مُعامل factor  في جدول المبلغ المركب هو مبلغ مركب compound amount عندما يكون أصل المبلغ  principalيساوي وحدة النقد مثل جنيه واحد ،، على سبيل المثال القيمة 1.40255 جنيه هي مبلغ مركب من أصل المبلغ وهو يساوي جنيه والباقي فوائد

مثال

أودع شخص مبلغ مائة جنيه في البنك لمدة خمسة سنوات بمعدل فائدة سنوي قدره  7%  والفائدة تضاف سنوياً ،، فما رصيد هذا الشخص في نهاية الخمسة سنوات

* من واقع المثال السابق القيمة المستقبلية لجنيه واحد = 1.40255

القيمة المستقبلية لمائة جنيه =  100 × 1.40255 = 140.25 جنيه

* ونعرض فيما يلي جدول يبين القيمة المستقبلية (المبلغ المركب) عندما يكون أصل المبلغ الوحيد يساوي وحدة النقد ،، ومعدل الفائدة المركبة يساوي ع %  لكل فترة زمنية ،، لمدة ن فترات زمنية متساوية ( سنوات أو شهور الخ )) وأول عمود يشير إلى عدد الفترات الزمنية ،، وأول صف يشير إلى معدل الفائدة عن كل فترة زمنية

2 / 3 جدول يبين المبلغ المركب (القيمة المستقبلية) عندما يكون أصل المبلغ الوحيد يساوي وحدة النقد

ن 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7%
1 1.01000 1.02000 1.03000 1.04000 1.05000 1.06000 1.07000
2 1.02010 1.04040 1.06090 1.08160 1.10250 1.12360 1.14490
3 1.03030 1.06121 1.09273 1.12486 1.15762 1.19102 1.22504
4 1.04060 1.08243 1.12551 1.16986 1.21551 1.26248 1.31080
5 1.05101 1.10408 1.15927 1.21665 1.27628 1.33823 1.40255
6 1.06152 1.12616 1.19405 1.26532 1.34010 1.41852 1.50073
7 1.07214 1.14869 1.22987 1.31593 1.40710 1.50363 1.60578
8 1.08286 1.17166 1.26677 1.36857 1.47746 1.59385 1.71819
9 1.09369 1.19509 1.30477 1.42331 1.55133 1.68948 1.83846
10 1.10462 1.21899 1.34392 1.48024 1.62889 1.79085 1.96715
11 1.11567 1.24337 1.38423 1.53945 1.71034 1.89830 2.10485
12 1.12683 1.26824 1.42576 1.60103 1.79586 2.01220 2.25219
13 1.13809 1.29361 1.46853 1.66507 1.88565 2.13293 2.40985
14 1.14947 1.31948 1.51259 1.73168 1.97993 2.26090 2.57853
15 1.16097 1.34587 1.55797 1.80094 2.07893 2.39656 2.75903
16 1.17258 1.37279 1.60471 1.87298 2.18287 2.54035 2.95216
17 1.18430 1.40024 1.65285 1.94790 2.29202 2.69277 3.15882
18 1.19615 1.42825 1.70243 2.02582 2.40662 2.85434 3.37993
19 1.20811 1.45681 1.75351 2.10685 2.52695 3.02560 3.61653
20 1.22019 1.48595 1.80611 2.19112 2.65330 3.20714 3.86968
21 1.23239 1.51567 1.86029 2.27877 2.78596 3.39956 4.14056
22 1.24472 1.54598 1.91610 2.36992 2.92526 3.60354 4.43040
23 1.25716 1.57690 1.97359 2.46472 3.07152 3.81975 4.74053
24 1.26973 1.60844 2.03279 2.56330 3.22510 4.04893 5.07237
25 1.28243 1.64061 2.09378 2.66584 3.38635 4.29187 5.42743
26 1.29526 1.67342 2.15659 2.77247 3.55567 4.54938 5.80735
27 1.30821 1.70689 2.22129 2.88337 3.73346 4.82235 6.21387
28 1.32129 1.74102 2.28793 2.99870 3.92013 5.11169 6.64884
29 1.33450 1.77584 2.35657 3.11865 4.11614 5.41839 7.11426
30 1.34785 1.81136 2.42726 3.24340 4.32194 5.74349 7.61226
               
               

جدول يبين المبلغ المركب (القيمة المستقبلية) عندما يكون أصل المبلغ الوحيد يساوي وحدة النقد ،،

ن 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14%
1.08000 1.09000 1.10000 1.11000 1.12000 1.13000 1.14000
1.16640 1.18810 1.21000 1.23210 1.25440 1.27690 1.29960
1.25971 1.29503 1.33100 1.36763 1.40493 1.44290 1.48154
1.36049 1.41158 1.46410 1.51807 1.57352 1.63047 1.68896
1.46933 1.53862 1.61051 1.68506 1.76234 1.84244 1.92541
1.58687 1.67710 1.77156 1.87041 1.97382 2.08195 2.19497
1.71382 1.82804 1.94872 2.07616 2.21068 2.35261 2.50227
1.85093 1.99256 2.14359 2.30454 2.47596 2.65844 2.85259
1.99900 2.17189 2.35795 2.55804 2.77308 3.00404 3.25195
10 2.15892 2.36736 2.59374 2.83942 3.10585 3.39457 3.70722
11 2.33164 2.58043 2.85312 3.15176 3.47855 3.83586 4.22623
12 2.51817 2.81266 3.13843 3.49845 3.89598 4.33452 4.81790
13 2.71962 3.06580 3.45227 3.88328 4.36349 4.89801 5.49241
14 2.93719 3.34173 3.79750 4.31044 4.88711 5.53475 6.26135
15 3.17217 3.64248 4.17725 4.78459 5.47357 6.25427 7.13794
16 3.42594 3.97031 4.59497 5.31089 6.13039 7.06733 8.13725
17 3.70002 4.32763 5.05447 5.89509 6.86604 7.98608 9.27646
18 3.99602 4.71712 5.55992 6.54355 7.68997 9.02427 10.57517
19 4.31570 5.14166 6.11591 7.26334 8.61276 10.19742 12.05569
20 4.66096 5.60441 6.72750 8.06231 9.64629 11.52309 13.74349
21 5.03383 6.10881 7.40025 8.94917 10.80385 13.02109 15.66758
22 5.43654 6.65860 8.14027 9.93357 12.10031 14.71383 17.86104
23 5.87146 7.25787 8.95430 11.02627 13.55235 16.62663 20.36158
24 6.34118 7.91108 9.84973 12.23916 15.17863 18.78809 23.21221
25 6.84848 8.62308 10.83471 13.58546 17.00006 21.23054 26.46192
26 7.39635 9.39916 11.91818 15.07986 19.04007 23.99051 30.16658
27 7.98806 10.24508 13.10999 16.73865 21.32488 27.10928 34.38991
28 8.62711 11.16714 14.42099 18.57990 23.88387 30.63349 39.20449
29 9.31727 12.17218 15.86309 20.62369 26.74993 34.61584 44.69312
30 10.06266 13.26768 17.44940 22.89230 29.95992 39.11590 50.95016

ملحوظة : جداول الفائدة المركبة تحتوي على خطأ التقريب rounding error إلى خمسة أرقام عشرية ،،

مثال

أودع شخص مبلغ مائة جنيه في البنك وتركه لمدة إحدى عشرة سنة بمعدل فائدة سنوي قدره  12%  فما هو المبلغ المركب في نهاية إحدى عشرة سنة ،، إذا كانت الفوائد يتم تركيبها (إضافتها) كل شهرين

الحل

معدل الفائدة لكل فترة تحويل = 12% ÷ 6 فترات تحويل = 2%

مجموع فترات التحويل = 11 سنوات × 6 فترات تحويل = 66 فترة

وحيث أن جدول المبلغ المركب (جدول القيمة المستقبلية) المذكور أعلاه ،، لا يحتوي على 66 فترة زمنية ،، لذا يمكننا الحل عن طريق استخدام المعادلة ،، أو عن طريق استخدام الجدول ولكننا نقسم الفترات الزمنية كما يلي :

القيمة المستقبلية لدولار واحد  = (1 + ع)ن = (1 + 0.02)66

= (1 + 0.02)30 × (1 + 0.02)30 × (1 + 0.02)6

ثم نبحث في جدول القيمة المستقبلية عن القيم المقابلة للمُعامل (1 + 0.02)30   وهي تقاطع الصف 30 فترة زمنية مع عمود معدل الفائدة 2% ثم نبحث في جدول القيمة المستقبلية عن القيم المقابلة للمُعامل (1 + 0.02)6 وهي تقاطع الصف 6 فترات زمنية  مع عمود معدل الفائدة 2%

القيمة المستقبلية لدولار واحد  = 1.81136 × 1.81136 × 1.12616 = 3.6949

القيمة المستقبلية لمائة جنيه =  100 × 3.6949 = 369.49 = 369.5 جنيه

 

مثال

أودع شخص مبلغ مائة جنيه في البنك وتركها لمدة إحدى عشرة سنة بمعدل فائدة سنوي قدره  6%  لمدة الخمسة سنوات الأولى ،، وبمعدل فائدة سنوي قدره  10%  لمدة الستة سنوات التالية فما هو المبلغ المركب في نهاية إحدى عشرة سنة ،، إذا كانت الفوائد يتم تركيبها (إضافتها) نصف سنوياً compounded semi-annually

معدل الفائدة لكل فترة تحويل في الخمسة سنوات الأولى = 6% ÷ 2 فترة تحويل = 3%

مجموع فترات التحويل في الخمسة سنوات الأولى = 5 سنوات × 2 فترة تحويل = 10 فترات

بالبحث في جدول المبلغ المركب (جدول القيمة المستقبلية)  المذكور أعلاه نجد أن القيمة المستقبلية لجنيه واحد بمعدل فائدة مركبة 3%  لمدة 10 فترات تسـاوى 1.34392 جنيه وهي تقاطع الصف عشرة فترات زمنية مع عمود معدل الفائدة 3%

* معدل الفائدة لكل فترة تحويل في الستة سنوات التالية = 10% ÷ 2 فترة تحويل = 5%

مجموع فترات التحويل في الستة سنوات التالية = 6 سنوات ×2 فترة تحويل= 12 فترات

بالبحث في جدول المبلغ المركب (جدول القيمة المستقبلية)  المذكور أعلاه نجد أن القيمة المستقبلية لجنيه واحد بمعدل فائدة مركبة 5%  لمدة 12 فترة زمنية تساوى 1.79586  جنيه وهي تقاطع الصف 12 فترة زمنية مع عمود معدل الفائدة 5%

القيمة المستقبلية لمائة جنيه = 100 × 1.34392 × 1.79586 = 241.35

 

مثال

أودع شخص مبلغ مائة جنيه في البنك لمدة خمسة سنوات وستة شهور بمعدل فائدة سنوي قدره   12%  فما رصيد هذا الشخص في نهاية المدة ،، إذا كانت الفوائد يتم تركيبها (إضافتها) سنوياً ؟

الحل

القيمة المستقبلية للجنيه لمدة خمسة سنوات =  1.76234

القيمة المستقبلية لمائة جنيه لمدة خمسة سنوات =  176.23

نستخدم طريقة الفائدة البسيطة لحساب الفوائد لمدة ستة شهور

فوائد بسيطة لمدة 6 شهور =  176.23 × 12% × 12/6 = 10.57

القيمة المستقبلية بعد خمسة سنوات و 6 شهور= 176.23 + 10.57 = 186.80

3 / 1 القيمة الحالية لمبلغ وحيد

present value of a single amount

في حالات كثيرة يكون من الضروري خصم مبلغ وحيد مستحق الدفع في المستقبل البعيد أو القريب ليدفعه المدين الآن في وقت الخصم ،، على سبيل المثال حالات التخلص من الديون طويلة الأجل أو حالات تصفية وثائق تأمين الحياة ،، وخصم مبلغ مركب مستحق الدفع في تاريخ مستقبلي يعني إيجاد القيمة الحالية له في تاريخ الخصم ،، والفرق بين المبلغ المركب والقيمة الحالية يطلق عليه مصطلح الخصم المركب compound discount لذا فإن الخصم المركب على المبلغ المركب هو نفس الشيء مثل الفائدة المركبة على القيمة الحالية ،، على سبيل المثال  شخص اقترض مبلغ مائة جنيه لمدة خمسة سنوات بمعدل فائدة سنوي 7% والفائدة تضاف سنوياً ،، والقيمة المستقبلية للمائة جنيه بعد خمسة سنوات =  140.25 جنيه ،، مما يعني أن الفائدة المركبة تساوي 40.25 جنيه ،، وهذا المثال المذكور يمكن إعادة صياغته بطريقة أخرى فنقول القيمة الحالية بمعدل فائدة سنوي 7%  لمبلغ مركب 140.25 جنيه مستحق الدفع بعد خمسة سنوات من الآن تساوي مائة جنيه الآن والخصم المركب يساوي 40.25 جنيه ،، وهذه الطريقة يطلق عليها طريقة معدل الفائدة وهي الطريقة المنطقية للتوصل إلى الخصم الصحيح أو الحقيقي ،، حيث أن معدل الفائدة يطبق على القيمة الحالية للتوصل إلى القيمة المستقبلية (وليس العكس)

لهذا السبب فإن معادلة القيمة المستقبلية لمبلغ وحيد (المبلغ المركب الوحيد) يشتق منها معادلة القيمة الحالية لمبلغ وحيد (أصل المبلغ الوحيد)  كما يلي :

القيمة المستقبلية =  القيمة الحالية × (1 + ع)ن

أقسم طرفي المعادلة المذكورة أعلاه على المُعامل (1 + ع)ن تحصل على المعادلة التالية

القيمة الحالية = القيمة المستقبلية

(1 + ع)ن

أو القيمة الحالية = القيمة المستقبلية × (1 + ع)– ن

ع   =  معدل الفائدة لكل فترة زمنية

ن   =  عدد الفترات الزمنية

* ونعرض فيما يلي المعادلة المستخدمة لإيجاد القيمة الحالية في بداية المدة عندما يكون المبلغ المركب الوحيد يساوي وحدة النقد (الواحد الصحيح مثل دولار واحد أو جنيه واحد) في نهاية المدة ،،  ومعدل الفائدة ع% لكل فترة زمنية ، لمدة ن من الفترات الزمنية المتساوية (( سنوات أو شهور الخ ))

القيمة الحالية لوحدة النقد  = 1
(1 + ع)ن

وحدة النقد هي الجنيه الواحد أو الدولار الواحد أو أي وحدة نقد أخرى

إن المعادلة المذكورة أعلاه يمكن إعادة صياغتها بطريقة بسيطة كما يلي:

القيمة الحالية لوحدة النقد  = (1 + ع)– ن

PV of $1 = (1 + i)-n

مثال :

شخص مدين بمبلغ جنيه واحد يستحق الدفع بعد عشر سنوات ،،  ما هي القيمة الحالية لهذا المبلغ لو أراد السداد الآن ،، إذا كانت معدل الفائدة السنوي 7% والفائدة يتم تركيبها (إضافتها) سنوياً compounded annually

الحــل

بالبحث في جدول القيمة الحالية عندما يكون المبلغ المركب الوحيد يساوي وحدة النقد (تقاطع الصف 10 فترات زمنية مع عمود معدل الفائدة 7% ) نجد أن القيمة الحالية هي 0.50835 جنيه ، لذا فإن هذا الشخص يجب أن يدفع خمسين قرشاً الآن

حل آخر (باستخدام المعادلة)

القيمة الحالية = (1 + ع)– ن = (1 + 0.07)– 10 = (1.07)– 10 = 0.50835

* ملحوظة                                                                      

أكتب المعدل 1.07 على الآلة الحاسبة العادية ،، واضغط  على علامة القسمة مرتين ،، ثم اضغط على علامة يساوي عشرة مرات تحصل على 0.50835

* ونعرض فيما يلي جدول يبين القيمة الحالية عندما يكون المبلغ المركب الوحيد يساوي وحدة النقد (دولار واحد أو جنيه واحد) في نهاية المدة ،،  ومعدل الفائدة ع% لكل فترة زمنية ، لمدة ن من الفترات الزمنية المتساوية (( سنوات أو شهور الخ )) وأول عمود يشير إلى عدد الفترات الزمنية ،، وأول صف يشير إلى معدل الفائدة عن كل فترة زمنية

   3 / 2 جدول يبين القيمة الحالية عندما يكون المبلغ المركب الوحيد يساوي وحدة النقد

ن 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7%
0.99010 0.98039 0.97087 0.96154 0.95238 0.94340 0.93458
0.98030 0.96117 0.94260 0.92456 0.90703 0.89000 0.87344
0.97059 0.94232 0.91514 0.88900 0.86384 0.83962 0.81630
0.96098 0.92385 0.88849 0.85480 0.82270 0.79209 0.76290
0.95147 0.90573 0.86261 0.82193 0.78353 0.74726 0.71299
0.94205 0.88797 0.83748 0.79031 0.74622 0.70496 0.66634
0.93272 0.87056 0.81309 0.75992 0.71068 0.66506 0.62275
0.92348 0.85349 0.78941 0.73069 0.67684 0.62741 0.58201
0.91434 0.83676 0.76642 0.70259 0.64461 0.59190 0.54393
10 0.90529 0.82035 0.74409 0.67556 0.61391 0.55839 0.50835
11 0.89632 0.80426 0.72242 0.64958 0.58468 0.52679 0.47509
12 0.88745 0.78849 0.70138 0.62460 0.55684 0.49697 0.44401
13 0.87866 0.77303 0.68095 0.60057 0.53032 0.46884 0.41496
14 0.86996 0.75788 0.66112 0.57748 0.50507 0.44230 0.38782
15 0.86135 0.74301 0.64186 0.55526 0.48102 0.41727 0.36245
16 0.85282 0.72845 0.62317 0.53391 0.45811 0.39365 0.33873
17 0.84438 0.71416 0.60502 0.51337 0.43630 0.37136 0.31657
18 0.83602 0.70016 0.58739 0.49363 0.41552 0.35034 0.29586
19 0.82774 0.68643 0.57029 0.47464 0.39573 0.33051 0.27651
20 0.81954 0.67297 0.55368 0.45639 0.37689 0.31180 0.25842
21 0.81143 0.65978 0.53755 0.43883 0.35894 0.29416 0.24151
22 0.80340 0.64684 0.52189 0.42196 0.34185 0.27751 0.22571
23 0.79544 0.63416 0.50669 0.40573 0.32557 0.26180 0.21095
24 0.78757 0.62172 0.49193 0.39012 0.31007 0.24698 0.19715
25 0.77977 0.60953 0.47761 0.37512 0.29530 0.23300 0.18425
26 0.77205 0.59758 0.46369 0.36069 0.28124 0.21981 0.17220
27 0.76440 0.58586 0.45019 0.34682 0.26785 0.20737 0.16093
28 0.75684 0.57437 0.43708 0.33348 0.25509 0.19563 0.15040
29 0.74934 0.56311 0.42435 0.32065 0.24295 0.18456 0.14056
30 0.74192 0.55207 0.41199 0.30832 0.23138 0.17411 0.13137
31 0.73458 0.54125 0.39999 0.29646 0.22036 0.16425 0.12277
               
               

جدول يبين القيمة الحالية عندما يكون المبلغ المركب الوحيد يساوي وحدة النقد

          ن 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14%
0.92593 0.91743 0.90909 0.90090 0.89286 0.88496 0.87719
0.85734 0.84168 0.82645 0.81162 0.79719 0.78315 0.76947
0.79383 0.77218 0.75131 0.73119 0.71178 0.69305 0.67497
0.73503 0.70843 0.68301 0.65873 0.63553 0.61332 0.59208
0.68058 0.64993 0.62092 0.59345 0.56743 0.54276 0.51937
0.63017 0.59627 0.56447 0.53464 0.50663 0.48032 0.45559
0.58349 0.54703 0.51316 0.48166 0.45235 0.42506 0.39964
0.54027 0.50187 0.46651 0.43393 0.40388 0.37616 0.35056
0.50025 0.46043 0.42410 0.39092 0.36061 0.33288 0.30751
10 0.46319 0.42241 0.38554 0.35218 0.32197 0.29459 0.26974
11 0.42888 0.38753 0.35049 0.31728 0.28748 0.26070 0.23662
12 0.39711 0.35553 0.31863 0.28584 0.25668 0.23071 0.20756
13 0.36770 0.32618 0.28966 0.25751 0.22917 0.20416 0.18207
14 0.34046 0.29925 0.26333 0.23199 0.20462 0.18068 0.15971
15 0.31524 0.27454 0.23939 0.20900 0.18270 0.15989 0.14010
16 0.29189 0.25187 0.21763 0.18829 0.16312 0.14150 0.12289
17 0.27027 0.23107 0.19784 0.16963 0.14564 0.12522 0.10780
18 0.25025 0.21199 0.17986 0.15282 0.13004 0.11081 0.09456
19 0.23171 0.19449 0.16351 0.13768 0.11611 0.09806 0.08295
20 0.21455 0.17843 0.14864 0.12403 0.10367 0.08678 0.07276
21 0.19866 0.16370 0.13513 0.11174 0.09256 0.07680 0.06383
22 0.18394 0.15018 0.12285 0.10067 0.08264 0.06796 0.05599
23 0.17032 0.13778 0.11168 0.09069 0.07379 0.06014 0.04911
24 0.15770 0.12640 0.10153 0.08170 0.06588 0.05323 0.04308
25 0.14602 0.11597 0.09230 0.07361 0.05882 0.04710 0.03779
26 0.13520 0.10639 0.08391 0.06631 0.05252 0.04168 0.03315
27 0.12519 0.09761 0.07628 0.05974 0.04689 0.03689 0.02908
28 0.11591 0.08955 0.06934 0.05382 0.04187 0.03264 0.02551
29 0.10733 0.08215 0.06304 0.04849 0.03738 0.02889 0.02237
30 0.09938 0.07537 0.05731 0.04368 0.03338 0.02557 0.01963
31 0.09202 0.06915 0.05210 0.03935 0.02980 0.02262 0.01722
               

مثال :                           

شخص مدين بمبلغ ألف جنيه يستحق الدفع بعد عشر سنوات ،،  ما هي القيمة الحالية لهذا المبلغ لو أراد السداد الآن ،، إذا كانت معدل  الفائدة السنوي 7% والفائدة يتم تركيبها سنوياً

الحــل

بالبحث في جدول القيمة الحالية عندما يكون المبلغ المركب الوحيد يساوي وحدة النقد (تقاطع صف 10 فترات زمنية مع عمود معدل الفائدة 7% ) نجد أن القيمة الحالية للجنيه الواحد هي 0.50835 جنيه

القيمة الحالية لمبلغ ألف جنيه =  1000 ×  0.50835 = 508.35 جنيه وهو المبلغ الواجب السداد الآن

الخصم المركب  =  القيمة المستقبلية – القيمة الحالية

الخصم المركب  =  1000 ـ  508.35 =  491.65 جنيه

ولو أردنا أن نعرف القيمة المستقبلية لمبلغ  508.35 بعد عشر سنوات من الآن بمعدل فائدة سنوي 7% فإننا سنبحث في جدول المبلغ المركب (جدول القيمة المستقبلية) عندما يكون أصل المبلغ يساوي وحدة النقد (تقاطع الصف 10 فترات زمنية مع عمود معدل الفائدة 7% )  فنجد أن  القيمة المستقبلية تساوى 1.96715

القيمة المستقبلية لمبلغ 508.35 =  508.35 × 1.96715 =  1000 جنيه

حل آخر (باستخدام المعادلة)

القيمة الحالية = القيمة المستقبلية = 1000 = 1000 = 508.35
(1 + ع)ن  (1.07)10 1.96715

* أكتب الرقم 1.07 على الآلة الحاسبة العادية (البسيطة) ،، واضغط  على علامة الضرب مرتين ،، ثم اضغط على علامة يساوي تسعة مرات ،، لتحصل على الرقم 1.96715

مثال :

سند إذني note مؤرخ أول يناير سنة 2000 قيمته الاسمية face value ألف جنيه يستحق الدفع بعد عشر سنوات بمعدل فائدة سنوي 8% والفائدة يتم إضافتها ربع سنوياً compounded quarterly  فإذا تم خصم هذا السند الإذني في أول يناير سنة 2004  ما هي حصيلة السند الإذني وما هو الخصم المركب ؟ إذا علمت أن معدل الفائدة السنوي 10% والفائدة يتم تركيبها نصف سنوياً

الحل

أولاً : أوجد قيمة الاستحقاق maturity value في أول يناير سنة 2010  يعني أوجد القيمة المستقبلية لمبلغ ألف جنيه في تاريخ الاستحقاق وهو أول يناير سنة 2010

معدل الفائدة لكل فترة تحويل = 8% ÷ 4 فترة تحويل = 2%

مجموع فترات التحويل في العشرة سنوات = 10 سنوات × 4 فترة تحويل = 40 فترة

وحيث أن جدول القيمة المستقبلية لوحدة النقد المذكور في هذا المقال ،، لا يحتوي على 40 فترة زمنية ،، لذا يمكننا الحل عن طريق استخدام المعادلة ،، أو عن طريق استخدام الجدول ولكننا نقسم الفترات الزمنية كما يلي:

القيمة المستقبلية لدولار واحد  = (1 + ع)ن =(1 + 0.02)40

= (1 + 0.02)30 × (1 + 0.02)10

ثم نبحث في جدول القيمة المستقبلية عن القيمة المقابلة للمُعامل (1 + 0.02)30   وهي تقاطع الصف 30 فترة زمنية مع عمود معدل الفائدة 2% ثم نبحث في جدول القيمة المستقبلية عن القيمة المقابلة للمُعامل (1 + 0.02)10 وهي تقاطع الصف 10  فترات زمنية  مع عمود معدل الفائدة 2%

القيمة المستقبلية لجنيه واحد  = 1.81136 × 1.21899  = 2.2080297

القيمة المستقبلية لمبلغ ألف جنيه =  1000 × 2.2080297 = 2208 جنيه

ثانياً : أوجد القيمة الحالية في تاريخ الخصم يعني في أول يناير سنة 2004 ،، يعني قبل تاريخ الاستحقاق بستة سنوات

معدل الفائدة لكل فترة تحويل = 10% ÷ 2 فترة تحويل = 5%

مجموع فترات التحويل في ستة سنوات = 6 سنوات × 2 فترة تحويل = 12 فترة

بالبحث في جدول القيمة الحالية عندما يكون المبلغ المركب الوحيد يساوي وحدة النقد (تقاطع الصف 12 فترة زمنية مع عمود معدل الفائدة 5%)  نجد أن القيمة الحالية هي 0.55684 ويمكن الحصول على هذا الرقم باستخدام المعادلة كما يلي :

القيمة الحالية لوحدة النقد  = (1 + ع)– ن = (1 + 0.05)– 12 = (1.05)– 12 = 0.55684

القيمة الحالية لمبلغ 2208 جنيه = 2208 × 0.55684 = 1229.5

حصيلة السند الإذني = 1229.5 جنيه

الخصم المركب  =  القيمة المستقبلية – القيمة الحالية = 22081229.5 = 978.5 جنيه

 

مثال :

قيمة الاستحقاق لسند إذني تساوي ألف جنيه تستحق الدفع بعد أربعة سنوات وشهرين تم خصمها بمعدل فائدة سنوي 8 % والفائدة يتم تركيبها (إضافتها) نصف سنوياً فما هي حصيلة هذا السند والخصم المركب ؟

الحل

معدل الفائدة لكل فترة تحويل = 8% ÷ 2 فترة تحويل = 4%

مجموع فترات التحويل الصحيحة (الكاملة) = 4 سنوات × 2 فترة تحويل = 8 فترة تحويل

* مجموع فترات التحويل الصحيحة (الكاملة) + 1 = 8  + 1 = 9 فترات تحويل

* بالبحث في جدول القيمة الحالية عندما يكون المبلغ المركب الوحيد يساوي وحدة النقد (تقاطع الصف 9 فترات زمنية  مع عمود معدل الفائدة 4%)  نجد أن القيمة الحالية هي 0.70259

* القيمة الحالية لمبلغ 1000 جنيه عن 9 فترات تحويل = 1000 × 0.70259 = 702.59

* الفرق بين 9 فترات نصف سنوية وبين 8 فترات نصف سنوية وشهرين = 4 شهور

* الفوائد البسيطة عن 4 شهور = 702.59 × 8% × 12/4 = 18.73

حصيلة السند الإذني = 702.59 جنيه + 18.73 = 721.32 جنيه

الخصم المركب = 1000 – 721.32 = 278.68 جنيه

 
 

 4 – الدفعة الدورية

* الدفعة الدورية  annuity (periodic payment)ويطلق عليها اختصاراً الدفعة هي مبلغ دوري يتم دفعه كل فترة دورية ،، على سبيل المثال كل سنة أو كل نصف سنة أو كل ربع سنة أو كل شهر ،، والدفعة المتساوية هي دفعة دورية ثابتة لا تتغير على سبيل المثال مبلغ ألف دولار كل شهر ،، والدفعة تعني في الأصل دفعة سنوية ولكن الآن تستخدم بمعنى دفعة دورية على سبيل المثال كل سنة أو كل نصف سنة أو كل ربع سنة أو كل شهر ،، وسنستخدم فيما يلي طريقة الفوائد المركبة في حساب القيمة المستقبلية أو القيمة الحالية للدفعة الدورية

* الزمن بين تاريخ دفع دفعة معينة وتاريخ دفع الدفعة التي تلي مباشرة هذه الدفعة المعينة يطلق عليه فترة الدفعة الدورية أو فترة الدفع الدورية  payment interval / payment period وسنطلق عليها اختصاراً الفترة الدورية أو الفترة الزمنية على سبيل المثال كل سنة أو كل نصف سنة أو كل ربع سنة أو كل شهر

* الزمن بين تاريخ بداية فترة الدفعة الأولى (بداية أول فترة دورية) وتاريخ نهاية فترة الدفعة الأخيرة (نهاية آخر فترة دورية) يطلق عليه مدة الدفعة term of annuity والدفعات يمكن تصنيفها حسب مدتها

* الدفعات يمكن تصنيفها حسب مدتها إلى ثلاثة أنواع هي ،، الدفعة المؤكدة ،، والدفعة الدائمة ،، والدفعة الاحتمالية

 

* الدفعات يمكن تصنيفها حسب تاريخ دفعها إلى ثلاثة أنواع هي ،، الدفعة العادية ،، والدفعة المقدمة ،، والدفعة المؤجلة

 

الدفعة المؤكدة annuity certain

* مصطلح دفعة مؤكدة يطلق على أي دفعة دورية لا يكون دفعها معلق على شرط ،، على سبيل المثال لو قمت بإيداع مبلغ ألف جنيه كل شهر في البنك  ولمدة ستين شهر ،، فإن هذا المبلغ الشهري خلال الستين شهراً يطلق عليها دفعة مؤكدة متساوية ،، ولو كان شخص يمتلك سندات تدر فائدة مضمونة ألف جنيه كل نصف سنة ولمدة عشرة سنوات ،، فإن العشرين دفعة فوائد يطلق عليها دفعة مؤكدة ،، ومدة الدفعة المؤكدة  تبدأ وتنتهي في تواريخ معروفة على سبيل المثال لو قام شخص بإيداع مبلغ ألف جنيه في البنك كل سنة ولمدة خمسة سنوات ولنفترض أن مدة الدفعة تبدأ في أول يناير سنة 2010 وتنتهي في أول يناير سنة 2015

عندما نستخدم الجداول الرياضية أو المعادلات الرياضية المذكورة أدناه في حساب القيمة الحالية أو القيمة المستقبلية للدفعة يجب توافر الشروط التالية :

(أ) أن تكون الدفعة هي دفعة مؤكدة متساوية ،، والدفعة موضوع الدراسة في هذا المقال  هي الدفعة المؤكدة المتساوية

(ب) أن تكون الفترات الزمنية التي يتم فيها دفع الدفعة متساوية

(ج) أن يكون معدل الفائدة ثابت لا يتغير من فترة زمنية إلى أخرى

(د) الجداول الرياضية المذكورة أدناه والمعادلات المتعلقة بهذه الجداول تكون على أساس أن الدفعة هي دفعة عادية ،، وعلى أساس وحدة النقد (الجنيه الواحد أو الدولار الواحد الخ)

عندما نحسب القيمة الحالية أو القيمة المستقبلية للدفعة المؤكدة المتساوية يجب توافر المعلومات التالية :

(أ) الدفعة الدورية ( مبلغ الدفعة الدورية) ويرمز لها بالرمز R على سبيل المثال مبلغ ألف دولار كل شهر

(ب) فترة الدفعة الدورية (الفترة الدورية أو الزمنية) على سبيل المثال مبلغ ألف دولار كل شهر

(ج) مدة الدفعة على سبيل المثال مبلغ ألف دولار كل شهر ولمدة ستين شهر ،، يعني مدة الدفعة هي عدد الفترات الدورية ويرمز لها بالرمز  ن  أو يرمز لها بالرمزn  ،، يعني مدة الدفعة هي عدد الدفعات

* القيمة المستقبلية للدفعة الدورية (جملة الدفعة المؤكدة المتساوية) تعني إيجاد مجموع الدفعات والفوائد على كل دفعة في نهاية مدة الدفعة

* القيمة الحالية للدفعة الدورية (المؤكدة المتساوية) هي مجموع الدفعات في بداية مدة الدفعة بعد خصم (طرح) الفوائد منها

الدفعة الاحتمالية contingent  annuity  

* الدفعة التي يكون دفعها معلق على شرط يطلق عليها دفعة احتمالية يعني دفعة متوقفة على شرط ،، ومدة الدفعة الاحتمالية تبدأ في تاريخ معروف ولكن تاريخ نهاية الدفعة يكون غير معروف مقدماً ،، على سبيل المثال دفعة مدى الحياة (في مجال التأمين) تشترط بقاء صاحب الدفعة على  قيد الحياة حتى يتم دفعها فإذا مات ينقطع دفع الدفعة ولكننا لا نعرف متى سيموت فتاريخ نهاية الدفعة يعتمد على حدوث حادث معين في المستقبل ،، والدفعة الاحتمالية تخرج عن نطاق الدراسة في هذا المقال حيث يدخل في حسابها الاحتمالات (توقع الحياة) وبالتالي تعتمد على سن صاحب الدفعة ،، لذا فإن مجال تدريسها هو دفعات الحياة في رياضيات التأمين

،، ومع ذلك دفعة الحياة المؤقتة التي تكون مؤكدة الدفع طوال مدة العقد يطلق عليها دفعة مؤكدة ،، ولا يعتمد قسطها أو حسابها على سن صاحب الدفعة لأنها مضمونة الدفع طوال مدة العقد

* الدفعة الدائمة (الأزلية) perpetuity / perpetual annuity  

مدة الدفعة الدائمة تبدأ في تاريخ معروف ولكنها لا تنتهي أبداً ،، على سبيل المثال شخص يضع مليون جنيه في البنك ويأخذ الفوائد كل سنة ،، لذا الفائدة السنوية تعتبر دفعة دائمة لا تنتهي أبداً بشرط الاستمرار في إيداع مبلغ المليون جنيه وثبات سعر الفائدة ،، وسنخصص لدراستها جزء مستقل في نهاية المقال

 

* الدفعة العادية (الدفعة المؤخرة) ordinary annuity (annuity in arrears)  

عندما يكون دفع الدفعات في نهاية كل فترة دورية ((يعني أول دفعة يتم دفعها بعد فترة دورية واحدة)) فإن هذه الدفعات يطلق عليها الدفعة العادية ،، على سبيل المثال مدة الدفعة العادية خمسة سنوات تبدأ من أول يناير سنة 2010  ،، وتنتهي في أول يناير سنة 2015   ،، ومكونة من خمسة دفعات سنوية وأول دفعة يتم دفعها بعد سنة في أول يناير سنة 2011 وهو نهاية السنة الأولى والدفعة الخامسة والأخيرة يتم دفعها في أول يناير سنة 2015  وهو نهاية السنة الخامسة ،، وعلى سبيل المثال إذا كانت مدة الدفعة العادية سنة واحدة تبدأ من أول يناير وفترة الدفع الدورية (الفترة الدورية) هي كل ربع سنة فإن أول دفعة يتم دفعها بعد ثلاثة شهور في أول أبريل وهو نهاية الربع الأول ،، وثاني دفعة يتم دفعها في أول يوليو وهو نهاية الربع ،، وهكذا

الدفعة المقدمة  annuity in  advance (annuity due)  

عندما يكون دفع الدفعات في بداية كل فترة دفع دورية ((يعني أول دفعة يتم دفعها في بداية مدة الدفعة)) فإن هذه الدفعات يطلق عليها الدفعة المقدمة  ،، على سبيل المثال مدة دفعة مقدمة خمسة سنوات تبدأ من أول يناير سنة 2010  ،، وتنتهي في أول يناير سنة 2015  ،، ومكونة من خمسة دفعات سنوية وأول دفعة يتم دفعها في أول يناير سنة 2010 وهو بداية السنة الأولى ،، والدفعة الخامسة والأخيرة يتم دفعها في أول يناير سنة 2014 وهو بداية السنة الخامسة ،، وعلى سبيل المثال إذا كانت مدة الدفعة المقدمة سنة واحدة تبدأ من أول يناير وفترة الدفع الدورية هي كل ربع سنة فإن أول دفعة يتم دفعها في أول يناير وهو بداية الربع الأول ،، وثاني دفعة يتم دفعها في أول أبريل وهو بداية الربع الثاني ،، وهكذا

* الدفعة المؤجلة deferred annuity

الدفعة التي يبدأ دفعها بعد مرور أكثر من فترة دورية واحدة يطلق عليها الدفعة المؤجلة ،، ومن الأسهل عند حل المسائل أن ننظر إلى الدفعة المؤجلة على إنها دفعة عادية مؤجلة deferred ordinary annuity يعني الدفعة التي يتم دفعها في نهاية كل فترة دفع دورية ((في نهاية كل فترة دورية)) ولكن مدة الدفعة لا تبدأ إلا بعد مرور مدة زمنية من الآن ،، على سبيل المثال رجل أقترض مبلغ ألف جنيه في أول يناير سنة 2000 وقد وافق على أن يسدد القرض على خمسة دفعات سنوية متساوية ولكن أول دفعة يبدأ دفعها بعد ثلاثة سنوات من تاريخ حصوله على القرض ،، والمدة ما بين تاريخ حصوله على القرض الآن (أول يناير سنة 2000) وتاريخ بداية مدة الدفعة العادية (أول يناير سنة 2002) تسمى مدة التأجيل deferment period  وهي تساوي سنتين

4 / 1 القيمة المستقبلية لدفعة دورية عادية (مؤخرة) ق م د عـ

Future value of an ordinary annuity ( Fvoa)

* القيمة المستقبلية للدفعة الدورية (جملة الدفعة المؤكدة المتساوية) تعني إيجاد مجموع الدفعات والفوائد على كل دفعة في نهاية مدة الدفعة ،، يعني القيمة المستقبلية للدفعة الدورية هي القيمة النهائية في نهاية مدة الدفعة ،، ويمكن إجراء ذلك  بأن نحسب القيمة المستقبلية لكل دفعة وكأنها مبلغ وحيد على حدة ((جملة كل مبلغ دفعة وحيد وهي تساوي مبلغ الدفعة الوحيد مضافاً إليه الفوائد حتى تاريخ نهاية مدة الدفعة الدورية)) ثم نجمع القيم المستقبلية على بعضها البعض ولكن هذه الطريقة مطولة

مثال افتراضي

شخص يقوم بإيداع جنيه واحد في البنك في نهاية كل سنة من الآن ،، فما هو رصيد هذا الشخص بعد خمسة سنوات ؟ يعني ما هي جملة الدفعة العادية في نهاية مدة الدفعة ؟ يعني ما هي القيمة المستقبلية للدفعة العادية في نهاية مدة الدفعة ؟ إذا علمت أن معدل الفائدة السنوي 6%  والفوائد يتم تركيبها (إضافتها) سنوياً ؟

الحـــــــــل

لحساب القيمة المستقبلية للدفعة الدورية بالطريقة المستخدمة في الجدول التالي فإننا ننظر إلى كل تدفق نقدي على إنفراد (كل مبلغ دفعة وحيد على حدة) وكأنه مبلغ وحيد ،، ثم نحسب القيمة المستقبلية لهذا المبلغ الوحيد في نهاية مدة الدفعة باستخدام معادلة القيمة المستقبلية لمبلغ وحيد يساوي وحدة النقد  FV =  (1 + i)N ثم نجمع القيم المستقبلية على بعضها البعض ،،

،، ولاشك أن حساب كل تدفق نقدي على انفراد يعتبر طريقة طويلة ومضيعة للوقت ،، ولكن لابد من استخدامها في حالة كون الدفعات غير متساوية يعني في سنة يتم دفع جنيه وسنة أخرى يتم دفع ثلاثة جنيه وسنة ثالثة يتم دفع اثنين جنيه

     
القيمة المستقبلية للدفعة الخامسة (1.06)0  = 1
القيمة المستقبلية للدفعة الرابعة (1.06)1 = 1.0600
القيمة المستقبلية للدفعة الثالثة  (1.06)2 1.12360
القيمة المستقبلية للدفعة الثانية  (1.06)3 1.19102
القيمة المستقبلية للدفعة الأولى (1.06)4 1.26247
القيمة المستقبلية للدفعة (جملة الدفعة)   5.63709

لاشك أن هذه الطريقة المذكورة أعلاه طويلة ومضيعة للوقت ،، ولكن لحسن الحظ فإن علماء الرياضة توصلوا إلى معادلة لحساب القيمة المستقبلية لدفعة دورية عادية قدرها وحدة النقد في خطوة واحدة

والمثال المذكور أعلاه يشير إلى دفعة عادية مدتها خمسة سنوات لنفترض إنها تبدأ من أول يناير سنة 2010  ،، وتنتهي في أول يناير سنة 2015   ،، ومكونة من خمسة دفعات سنوية وأول دفعة يتم دفعها بعد سنة في أول يناير سنة 2011 وهو نهاية السنة الأولى والدفعة الخامسة والأخيرة يتم دفعها في أول يناير سنة 2015  وهو نهاية السنة الخامسة ،،

وعندما نقول القيمة المستقبلية للدفعة الدورية العادية فإن القيمة المستقبلية تكون في نهاية مدة الدفعة وهي أول يناير سنة 2015 ،، وبناء عليه فإن الدفعة الخامسة لا يحتسب عليها فائدة لأنها كانت في أول يناير سنة 2015  وهو نهاية السنة الخامسة يعني في نهاية مدة الدفعة العادية ،، والدفعة الرابعة يحتسب عليها فائدة لمدة سنة واحدة لأنه تم إيداعها في أول يناير سنة 2014  وهو نهاية السنة الرابعة ،، والمدة بين نهاية السنة الرابعة ونهاية مدة الدفعة تساوي سنة واحدة ،، والدفعة الثالثة يحتسب عليها فوائد لمدة سنتين لأنه تم إيداعها في أول يناير سنة 2013  وهو نهاية السنة الثالثة ،، والمدة بين نهاية السنة الثالثة ونهاية مدة الدفعة تساوي سنتين ،، والدفعة الثانية يحتسب عليها فوائد لمدة ثلاثة سنوات لأنه تم إيداعها في أول يناير سنة 2012  وهو نهاية السنة الثانية ،، والدفعة الأولى يحتسب عليها فوائد لمدة أربعة سنوات لأنه تم إيداعها في أول يناير سنة 2011 وهو نهاية السنة الأولى

القيمة المستقبلية عندما تكون الدفعة الدورية العادية  تساوي وحدة النقد

نعرض فيما يلي المعادلة المستخدمة لإيجاد القيمة المستقبلية للدفعة الدورية العادية عندما تكون الدفعة الدورية العادية تساوي وحدة النقد مثل دولار واحد أو جنيه واحد ، ومعدل الفائدة المركبة ع % لكل فترة زمنية ، لمدة ن فترات زمنية متساوية (سنوات أو شهور الخ)

ق م د عـ  قدرها وحدة النقد = (1 + ع)ن   1
ع

ع  =  معدل الفائدة لكل فترة

ن =  عدد الفترات الدورية المتساوية (عدد الدفعات)

وحدة النقد هي الجنيه الواحد أو الدولار الواحد الخ

في المعادلة المذكورة أعلاه افترضنا أن الدفعة الدورية تساوي جنيه واحد وهو وحدة النقد ،، وفي المعادلة المذكورة أدناه افترضنا أن الدفعة الدورية تساوي أي رقم بخلاف الواحد الصحيح ،، وسنرمز إليه بالحرف س

ق م د عـ  قدرها س = الدفعة الدورية × (1 + ع)ن   1
ع

مثال :

شخص يقوم بإيداع جنيه واحد في البنك في نهاية كل سنة من الآن ،، فما هو رصيد هذا الشخص بعد خمسة سنوات ؟ يعني ما هي جملة الدفعة في نهاية المدة ؟ يعني ما هي القيمة المستقبلية للدفعة الدورية في نهاية المدة ؟ إذا علمت أن معدل الفائدة السنوي 6% والفائدة يتم تركيبها (إضافتها) سنوياً ؟

الحـــل

ق م د ع قدرها وحدة النقد = (1 + 0.06)5   1
0.06

**

= (1.06)5   1 = 1.3382255 – 1 = 0.3382255 = 5.63709
0.06 0.06 0.06

القيمة المستقبلية لدفعة عادية ، قدرها جنيه واحد ، بمعدل فائدة سنوية 6% ، لمدة 5 سنوات تساوي 5.63709 جنيه

الحل باستخدام جدول القيمة المستقبلية لدفعة عادية قدرها وحدة النقد (جنيه واحد)

بالبحث في جدول القيمة المستقبلية لدفعة عادية قدرها وحدة النقد ،، تقاطع الصف خمسة فترات زمنية مع عمود معدل الفائدة 6% نجد أن القيمة المستقبلية لدفعة عادية قدرها جنيه واحد تساوى 5.63709 جنيه

* ونعرض فيما يلي جدول يبين القيمة المستقبلية للدفعة الدورية العادية عندما تكون الدفعة الدورية العادية تساوي وحدة النقد مثل دولار واحد أو جنيه واحد ، ومعدل الفائدة المركبة ع % لكل فترة زمنية ، لمدة ن فترات زمنية متساوية ( سنوات أو شهور الخ ) وأول عمود يشير إلى عدد الفترات الزمنية ،، وأول صف يشير إلى معدل الفائدة عن كل فترة زمنية

جدول يبين القيمة المستقبلية للدفعة الدورية العادية عندما تكون الدفعة الدورية العادية تساوي وحدة النقد

ن 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7%
1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000
2.01000 2.02000 2.03000 2.04000 2.05000 2.06000 2.07000
3.03010 3.06040 3.09090 3.12160 3.15250 3.18360 3.21490
4.06040 4.12161 4.18363 4.24646 4.31012 4.37462 4.43994
5.10101 5.20404 5.30914 5.41632 5.52563 5.63709 5.75074
6.15202 6.30812 6.46841 6.63298 6.80191 6.97532 7.15329
7.21354 7.43428 7.66246 7.89829 8.14201 8.39384 8.65402
8.28567 8.58297 8.89234 9.21423 9.54911 9.89747 10.25980
9.36853 9.75463 10.15911 10.58280 11.02656 11.49132 11.97799
10 10.46221 10.94972 11.46388 12.00611 12.57789 13.18079 13.81645
11 11.56683 12.16872 12.80780 13.48635 14.20679 14.97164 15.78360
12 12.68250 13.41209 14.19203 15.02581 15.91713 16.86994 17.88845
13 13.80933 14.68033 15.61779 16.62684 17.71298 18.88214 20.14064
14 14.94742 15.97394 17.08632 18.29191 19.59863 21.01507 22.55049
15 16.09690 17.29342 18.59891 20.02359 21.57856 23.27597 25.12902
16 17.25786 18.63929 20.15688 21.82453 23.65749 25.67253 27.88805
17 18.43044 20.01207 21.76159 23.69751 25.84037 28.21288 30.84022
18 19.61475 21.41231 23.41444 25.64541 28.13238 30.90565 33.99903
19 20.81090 22.84056 25.11687 27.67123 30.53900 33.75999 37.37896
20 22.01900 24.29737 26.87037 29.77808 33.06595 36.78559 40.99549
21 23.23919 25.78332 28.67649 31.96920 35.71925 39.99273 44.86518
22 24.47159 27.29898 30.53678 34.24797 38.50521 43.39229 49.00574
23 25.71630 28.84496 32.45288 36.61789 41.43048 46.99583 53.43614
24 26.97346 30.42186 34.42647 39.08260 44.50200 50.81558 58.17667
25 28.24320 32.03030 36.45926 41.64591 47.72710 54.86451 63.24904
26 29.52563 33.67091 38.55304 44.31174 51.11345 59.15638 68.67647
27 30.82089 35.34432 40.70963 47.08421 54.66913 63.70577 74.48382
28 32.12910 37.05121 42.93092 49.96758 58.40258 68.52811 80.69769
29 33.45039 38.79223 45.21885 52.96629 62.32271 73.63980 87.34653
30 34.78489 40.56808 47.57542 56.08494 66.43885 79.05819 94.46079
               

جدول يبين القيمة المستقبلية للدفعة الدورية العادية عندما تكون الدفعة الدورية العادية تساوي وحدة النقد

ن 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14%
1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000
2.08000 2.09000 2.10000 2.11000 2.12000 2.13000 2.14000
3.24640 3.27810 3.31000 3.34210 3.37440 3.40690 3.43960
4.50611 4.57313 4.64100 4.70973 4.77933 4.84980 4.92114
5.86660 5.98471 6.10510 6.22780 6.35285 6.48027 6.61010
7.33593 7.52333 7.71561 7.91286 8.11519 8.32271 8.53552
8.92280 9.20043 9.48717 9.78327 10.08901 10.40466 10.73049
10.63663 11.02847 11.43589 11.85943 12.29969 12.75726 13.23276
12.48756 13.02104 13.57948 14.16397 14.77566 15.41571 16.08535
10 14.48656 15.19293 15.93742 16.72201 17.54874 18.41975 19.33730
11 16.64549 17.56029 18.53117 19.56143 20.65458 21.81432 23.04452
12 18.97713 20.14072 21.38428 22.71319 24.13313 25.65018 27.27075
13 21.49530 22.95338 24.52271 26.21164 28.02911 29.98470 32.08865
14 24.21492 26.01919 27.97498 30.09492 32.39260 34.88271 37.58107
15 27.15211 29.36092 31.77248 34.40536 37.27971 40.41746 43.84241
16 30.32428 33.00340 35.94973 39.18995 42.75328 46.67173 50.98035
17 33.75023 36.97370 40.54470 44.50084 48.88367 53.73906 59.11760
18 37.45024 41.30134 45.59917 50.39594 55.74971 61.72514 68.39407
19 41.44626 46.01846 51.15909 56.93949 63.43968 70.74941 78.96923
20 45.76196 51.16012 57.27500 64.20283 72.05244 80.94683 91.02493
21 50.42292 56.76453 64.00250 72.26514 81.69874 92.46992 104.76842
22 55.45676 62.87334 71.40275 81.21431 92.50258 105.49101 120.43600
23 60.89330 69.53194 79.54302 91.14788 104.60289 120.20484 138.29704
24 66.76476 76.78981 88.49733 102.17415 118.15524 136.83147 158.65862
25 73.10594 84.70090 98.34706 114.41331 133.33387 155.61956 181.87083
26 79.95442 93.32398 109.18177 127.99877 150.33393 176.85010 208.33274
27 87.35077 102.72313 121.09994 143.07864 169.37401 200.84061 238.49933
28 95.33883 112.96822 134.20994 159.81729 190.69889 227.94989 272.88923
29 103.96594 124.13536 148.63093 178.39719 214.58275 258.58338 312.09373
30 113.28321 136.30754 164.49402 199.02088 241.33268 293.19922 356.78685

مثالشخص يقوم بإيداع  مائة جنيه في البنك في نهاية كل سنة من الآن ،، فما هو رصيد هذا الشخص بعد خمسة سنوات ؟ يعني ما هي جملة الدفعة العادية (القيمة المستقبلية للدفعة العادية) إذا علمت أن معدل الفائدة السنوي 6% والفائدة يتم تركيبها (إضافتها) سنوياً

الحـــل

بالبحث في جدول القيمة المستقبلية للدفعة الدورية العادية تقاطع الصف 5 فترات زمنية مع عمود معدل الفائدة 6% نجد أن القيمة المستقبلية لدفعة عادية قدرها جنيه واحد تساوى 5.63709 جنيه

القيمة المستقبلية لدفعة مائة جنيه = 100 × 5.63709 = 563.70 جنيه

مثالشخص يقوم بإيداع  مائة جنيه في البنك في نهاية كل سنة من الآن ،، ولمدة خمسة سنوات ،، فما هو رصيد هذا الشخص بعد ثمانية سنوات ؟ إذا علمت أن معدل الفائدة السنوي 6% والفائدة يتم تركيبها (إضافتها) سنوياً ؟

الحـــل

بالبحث في جدول القيمة المستقبلية للدفعة الدورية العادية تقاطع الصف خمسة فترات زمنية مع عمود معدل الفائدة 6% نجد أن القيمة المستقبلية لدفعة عادية قدرها جنيه واحد تساوى 5.63709 جنيه

القيمة المستقبلية لدفعة مائة جنيه بعد 5 سنوات = 100 × 5.63709 = 563.70

مبلغ 563.70 جنيه يعتبر مبلغ وحيد مستثمر لمدة ثلاثة سنوات إضافية بعد انقضاء الخمسة سنوات بمعدل فائدة سنوي 6%

بالبحث في جدول المبلغ المركب (القيمة المستقبلية) عندما يكون أصل المبلغ الوحيد يساوي وحدة النقد ،، تقاطع الصف 3 فترات زمنية مع عمود معدل الفائدة 6%  نجد أن القيمة المستقبلية تساوى  1.19102 جنيه وهي القيمة المستقبلية لمبلغ وحيد مستثمر لمدة ثلاثة سنوات = 563.70 × 1.19102 = 671.37 جنيه

مثال

شخص يقوم بإيداع  مائة جنيه في البنك في نهاية كل شهر من الآن ،، فما هو رصيد هذا الشخص بعد خمسة سنوات ؟ يعني ما هي جملة الدفعة العادية (القيمة المستقبلية للدفعة العادية) ،، إذا علمت أن معدل الفائدة السنوي 12% والفوائد يتم تركيبها (إضافتها) شهرياً

الحـــل

معدل الفائدة الشهري = 12% ÷ 12 شهر = 1%

مدة الدفعة = 5 سنوات × 12 شهر = 60 شهراً

مدة الدفعة تساوي 60 شهراً لكن الجدول المذكور أعلاه لا يحتوي على 60 فترة زمنية ،، لذا نضطر إلى استخدام المعادلة الرياضية أو نقسم مدة الدفعة إلى جزأين ،، الجزء الأول من الدفعة يحتوي على 30 فترة زمنية تبدأ من الفترة الزمنية رقم واحد حتى الفترة الزمنية رقم 30 ،، الجزء الثاني من الدفعة يحتوي على 30 فترة زمنية تبدأ من الفترة الزمنية رقم 31 حتى الفترة الزمنية رقم 60 ،،

* بالبحث في جدول القيمة المستقبلية للدفعة الدورية العادية عندما تكون الدفعة الدورية العادية تساوي وحدة النقد (تقاطع الصف 30 فترة زمنية مع عمود معدل الفائدة 1% نجد أن القيمة المستقبلية لدفعة عادية قدرها جنيه واحد تساوى 34.78489  جنيه

* القيمة المستقبلية لدفعة عادية قدرها 100 جنيه = 100 × 34.78489 = 3478.48

* القيمة المستقبلية للجزء الأول من الدفعة بعد مرور 30 فترة زمنية تساوي 3478.48 نعتبرها مبلغ وحيد تم استثماره لمدة 30 شهر إضافي ،، بالبحث في جدول المبلغ المركب (القيمة المستقبلية) عندما يكون أصل المبلغ الوحيد يساوي وحدة النقد (تقاطع الصف 30  فترة زمنية مع عمود معدل الفائدة 1% )

نجد أن القيمة المستقبلية لجنيه واحد بمعدل فائدة مركبة 1%  لمدة 30 فترات زمنية متساوية تساوى 1.34785 جنيه

* القيمة المستقبلية للجزء الأول من الدفعة في تاريخ نهاية الدفعة = 3478.48 × 1.34785 = 4688.47 جنيه

* القيمة المستقبلية للدفعة تساوي القيمة المستقبلية للجزء الأول من الدفعة في تاريخ نهاية الدفعة  + القيمة المستقبلية للجزء الثاني من الدفعة في تاريخ نهاية الدفعة = 4688.47 + 3478.48 = 8166.95 جنيه

4 / 2 القيمة المستقبلية لدفعة دورية مقدمة (ق م د م)

Future value of an annuity due ( Fvad )

شخص يقوم بإيداع جنيه واحد في البنك في بداية كل سنة من الآن ،، فما هو رصيد هذا الشخص بعد خمسة سنوات ؟ يعني ما هي جملة الدفعة المقدمة في نهاية مدة الدفعة ؟ يعني ما هي القيمة المستقبلية للدفعة المقدمة في نهاية مدة الدفعة ؟  إذا علمت أن معدل الفائدة السنوي 6% والفائدة يتم تركيبها (إضافتها) سنوياً ؟

 

الحل

لحساب القيمة المستقبلية للدفعة الدورية المقدمة بالطريقة المستخدمة في الجدول التالي فإننا ننظر إلى كل مبلغ دفعة منفرد على حدة وكأنه مبلغ وحيد ،، ثم نحسب القيمة المستقبلية لهذا المبلغ الوحيد في نهاية مدة الدفعة باستخدام معادلة القيمة المستقبلية لمبلغ وحيد يساوي وحدة النقد  FV =  (1 + i)N ثم نجمع القيم المستقبلية على بعضها البعض ،، ولاشك أن هذه الطريقة طويلة ومضيعة للوقت

،، والمثال المذكور أعلاه يشير إلى دفعة مقدمة مدتها خمسة سنوات لنفترض إنها تبدأ من أول يناير سنة 2010  ،، وتنتهي في أول يناير سنة 2015  ،، ومكونة من خمسة دفعات سنوية وأول دفعة يتم دفعها في أول يناير سنة 2010 وهو بداية السنة الأولى ،، والدفعة الخامسة والأخيرة يتم دفعها في أول يناير سنة 2014 وهو بداية السنة الخامسة ،،

وعندما نقول القيمة المستقبلية للدفعة الدورية المقدمة فإن القيمة المستقبلية تكون في نهاية مدة الدفعة وهي أول يناير سنة 2015  ،، وبناء عليه فإن الدفعة الخامسة يحتسب عليها فائدة لمدة سنة واحدة لأن دفعها كان في أول يناير سنة 2014 وهو بداية السنة الخامسة ،، والمدة بين بداية السنة الخامسة ونهاية مدة الدفعة تساوي سنة واحدة ،، والدفعة الرابعة يحتسب عليها فائدة لمدة سنتين لأنه تم إيداعها في أول يناير سنة 2013  وهو بداية السنة الرابعة ،، والمدة بين بداية السنة الرابعة ونهاية مدة الدفعة تساوي سنتين ،، والدفعة الثالثة يحتسب عليها فوائد لمدة ثلاثة سنوات لأنه تم إيداعها في أول يناير سنة 2012  وهو بداية السنة الثالثة ،، والمدة بين بداية السنة الثالثة ونهاية مدة الدفعة تساوي ثلاثة سنوات،، والدفعة الثانية يحتسب عليها فوائد لمدة أربعة سنوات لأنه تم إيداعها في أول يناير سنة 2011  وهو بداية السنة الثانية ،، والمدة بين بداية السنة الثانية ونهاية مدة الدفعة  تساوي أربعة سنوات ،، والدفعة الأولى يحتسب عليها فائدة لمدة خمسة سنوات لأنه تم إيداعها في أول يناير سنة 2010  وهو بداية السنة الأولى ،، والمدة بين بداية السنة الأولى ونهاية مدة الدفعة  تساوي خمسة سنوات

     
القيمة المستقبلية للدفعة الخامسة (1.06)1 = 1.0600
القيمة المستقبلية للدفعة الرابعة (1.06)2 = 1.12360
القيمة المستقبلية للدفعة الثالثة  (1.06)3 = 1.19102
القيمة المستقبلية للدفعة الثانية (1.06)4 = 1.26247
القيمة المستقبلية للدفعة الأولى (1.06)5 = 1.33823
القيمة المستقبلية للدفعة (جملة الدفعة)   5.97532

حساب القيمة المستقبلية للدفعة الدورية بالطريقة المستخدمة في الجدول السابق يكون صعباً ومضيعاً للوقت ،، ولكن لحسن الحظ فإن علماء الرياضة توصلوا إلى المعادلة المذكورة أدناه  لحساب القيمة المستقبلية لدفعة دورية في خطوة واحدة

ق م د م = ق م د عـ (1 + ع )

Fvad = Fvoa  (1 + i)

مثال : 

شخص يقوم بإيداع مائة جنيه في البنك في بداية كل سنة من الآن ،، فما هو رصيد هذا الشخص بعد خمسة سنوات ؟ يعني ما هي جملة الدفعة المقدمة (القيمة المستقبلية للدفعة المقدمة) إذا علمت أن معدل الفائدة السنوي 6% والفوائد يتم تركيبها (إضافتها) سنوياً ؟

الحـــل

بالبحث في جدول القيمة المستقبلية للدفعة الدورية العادية عندما تكون الدفعة الدورية العادية تساوي وحدة النقد ،، تقاطع الصف 5 فترات زمنية مع عمود معدل الفائدة 6%

نجد أن القيمة المستقبلية لدفعة عادية قدرها جنيه واحد تساوى 5.63709 جنيه

القيمة المستقبلية لدفعة عادية قدرها مائة جنيه = 100 × 5.63709 = 563.70 جنيه

القيمة المستقبلية لدفعة مقدمة قدرها مائة جنيه = ق م د عـ (1 + ع )    = 563.70 × (1 + 0.06) = 563.70 × 1.06 = 597.53 جنيه

Fvad = Fvoa  (1 + i) = 563.70 × (1 + 0.06)

= 563.70 × 1.06 = 597.53

حـــل آخر

نضيف واحد إلى عدد الفترات المذكورة بالمسألة ،، يعني عدد الفترات المذكورة بالمسألة هي خمسة فتصبح ستة ،، بالبحث في جدول القيمة المستقبلية للدفعة الدورية العادية ،، تقاطع الصف 6 فترات زمنية مع عمود معدل الفائدة 6% نجد أن القيمة المستقبلية لدفعة عادية قدرها جنيه واحد تساوى 6.97532 جنيه فنطرح منها واحد فتصبح 5.97532

القيمة المستقبلية لدفعة مقدمة قدرها جنيه واحد = 5.97532

القيمة المستقبلية لدفعة مقدمة قدرها مائة جنيه = 5.97532 × 100 = 597.53

مثال

يقوم شخص بإيداع مبلغ مائة جنيه في البنك في نهاية كل شهر من الآن ،، أوجد جملة المستحق لهذا الشخص في نهاية سنتين ؟ يعني ما هي جملة الدفعة العادية (القيمة المستقبلية للدفعة العادية) إذا علمت أن معدل الفائدة السنوي الاسمي 12% والفوائد يتم تركيبها (إضافتها) شهرياً ؟

الحــــل

معدل الفائدة الشهري = 12% ÷ 12 شهر = 1%

جملة دفعة شهرية عادية (مؤخرة) للجنيه الواحد لمدة قدرها 24 شهراً بمعدل الفائدة الشهري 1% تتحدد بالمعادلة التالية

ق م د عـ قدرها وحدة النقد = (1 + ع)ن   1 = (1 + 0.01)24    1
ع 0.01
 
= (1.01)24  1 = 1.26973 – 1 = 0.26973 = 26.973
0.01 0.01 0.01

ق م د عـ قدرها 100 جنيه = 26.973 × 100 = 2697.3 جنيه

* أكتب الرقم 1.01 على الآلة الحاسبة العادية ،، واضغط  على علامة الضرب مرتين ،، ثم اضغط على علامة يساوي 23 مرة تحصل على1.26973

حل آخر

من جدول القيمة المستقبلية للدفعة الدورية العادية ،، تقاطع الصف 24 فترة زمنية مع عمود معدل الفائدة 1% تحصل على المعامل  26.97346

مثال

يقوم شخص بإيداع مبلغ مائة جنيه في البنك في بداية كل شهر من الآن ،، أوجد جملة المستحق لهذا الشخص في نهاية سنتين ؟ يعني ما هي جملة الدفعة المقدمة (القيمة المستقبلية للدفعة المقدمة) إذا علمت أن معدل الفائدة السنوي 12% والفوائد يتم تركيبها (إضافتها) شهرياً ؟

الحــــل : بإتباع نفس خطوات المثال السابق نجد أن :

ق م د عـ قدرها 100 جنيه = 26.973 × 100 = 2697.3 جنيه

ق م د م = ق م د عـ (1 + ع ) = 2697.3 × 1.01 = 2724.3 جنيه

Fvoa of 100 pound = 26.973   × 100 = 2697.3

Fvad = Fvoa  (1 + i) = 2697.3 × 1.01 = 2724.3

4 / 3 القيمة الحالية لدفعة دورية عادية (ق ح د عـ)

Present value of an ordinary annuity ( Pvoa)

القيمة الحالية للدفعة الدورية (المؤكدة المتساوية) هي مجموع الدفعات في بداية مدة الدفعة بعد خصم (طرح) الفوائد منها ،، ولحساب القيمة الحالية للدفعة الدورية نحسب القيمة الحالية لكل مبلغ دفعة وحيد على حدة ،، ثم نجمع القيم الحالية على بعضها البعض ولكن هذه الطريقة مطولة

مثال

شخص مدين يسدد جنيه واحد في نهاية كل سنة من الآن ،، ولمدة خمسة سنوات ،، اتفق مع الدائن على أن يتخلص من ديونه الآن ،،  فما هو المبلغ المطلوب سداده الآن للتخلص من ديونه ؟ يعني ما هي القيمة الحالية للدفعة العادية في بداية مدة الدفعة ؟ إذا علمت أن معدل الفائدة السنوي 6% والفائدة يتم تركيبها (إضافتها) سنوياً

الحـــل

لحساب القيمة الحالية للدفعة العادية بالطريقة المستخدمة في الجدول التالي فإننا ننظر إلى كل مبلغ دفعة وحيد على حدة وكأنه مبلغ وحيد ،، ثم نحسب القيمة الحالية لهذا المبلغ الوحيد في بداية مدة الدفعة ،، باستخدام القيمة الحالية لمبلغ وحيد يساوي وحدة النقد  PV = (1+i)-n ثم نجمع القيم الحالية على بعضها البعض ،، ولاشك أن هذه الطريقة طويلة ومضيعة للوقت ،،

القيمة الحالية للدفعة الأولى (1.06)-1 = 0.94340
القيمة الحالية للدفعة الثانية  (1.06)-2 = 0.89000
القيمة الحالية للدفعة الثالثة  (1.06)-3 = 0.83962
القيمة الحالية للدفعة الرابعة  (1.06)-4 = 0.79209
القيمة الحالية للدفعة الخامسة (1.06)-5 = 0.74726
القيمة الحالية للدفعة (المجموع)   4.21236

حساب القيمة الحالية للدفعة العادية بالطريقة المستخدمة في الجدول السابق يكون صعباً ومضيعاً للوقت ،، ولكن لحسن الحظ فإن علماء الرياضة توصلوا إلى المعادلة المذكورة أدناه  لحساب القيمة الحالية للدفعة العادية في خطوة واحدة

والمثال المذكور أعلاه يشير إلى دفعة عادية مدتها خمسة سنوات لنفترض إنها تبدأ من أول يناير سنة 2010  ،، وتنتهي في أول يناير سنة 2015   ،، ومكونة من خمسة دفعات سنوية وأول دفعة يتم دفعها بعد سنة في أول يناير سنة 2011 وهو نهاية السنة الأولى والدفعة الخامسة والأخيرة يتم دفعها في أول يناير سنة 2015  وهو نهاية السنة الخامسة ،،

وعندما نقول القيمة الحالية للدفعة الدورية العادية فإن القيمة الحالية تكون في بداية مدة الدفعة وهي أول يناير سنة 2010  ،، وبناء عليه فإن مدة الدفعة الأولى تكون سنة واحدة لأنه سيتم دفعها في أول يناير سنة 2011 وهو نهاية السنة الأولى ،، والمدة بين نهاية السنة الأولى وبداية مدة الدفعة تساوي سنة واحدة ،، ومدة الدفعة الثانية تكون سنتين لأنه سيتم دفعها في أول يناير سنة 2012 وهو نهاية السنة الثانية ،، والمدة بين نهاية السنة الثانية وبداية مدة الدفعة تساوي سنتين ،، ومدة الدفعة الثالثة تكون ثلاثة سنوات لأنه سيتم دفعها في أول يناير سنة 2013  وهو نهاية السنة الثالثة ،، والمدة بين نهاية السنة الثالثة وبداية مدة الدفعة تساوي ثلاثة سنوات ،، ومدة الدفعة الرابعة تكون أربعة سنوات لأنه سيتم دفعها في أول يناير سنة 2014 وهو نهاية السنة الرابعة ،، والمدة بين نهاية السنة الرابعة وبداية مدة الدفعة تساوي أربعة سنوات ،، ومدة الدفعة الخامسة تكون خمسة سنوات لأنه سيتم دفعها في أول يناير سنة 2015 وهو نهاية السنة الخامسة ،، والمدة بين نهاية السنة الخامسة وبداية مدة الدفعة تساوي خمسة سنوات

ونعرض فيما يلي المعادلة المستخدمة لإيجاد القيمة الحالية لدفعة دورية عادية عندما تكون الدفعة الدورية العادية تساوي وحدة النقد مثل دولار واحد أو جنيه واحد ، ومعدل الفائدة المركبة يساوي ع % لكل فترة زمنية ، لمدة ن فترات زمنية متساوية ((سنوات أو شهور الخ ))

ق ح د عـ قدرها وحدة واحد =  1 ـ (1 + ع) ــ ن     
ع

ق ح د عـ = القيمة الحالية لدفعة دورية عادية

وحدة النقد هي الجنيه الواحد أو الدولار الواحد أو وحدة النقد لأي عملة أخرى

في المعادلة المذكورة أعلاه افترضنا أن الدفعة الدورية تساوي جنيه واحد وهو وحدة النقد (الواحد الصحيح) ،، وفي المعادلة المذكورة أدناه افترضنا أن الدفعة الدورية تساوي أي رقم بخلاف الواحد الصحيح ،، وسنرمز إليه بالحرف س

ق ح د عـ قدرها س =  الدفعة الدورية × 1 ـ (1 + ع) ــ ن     
ع
 

مثال

شخص مدين يسدد جنيه واحد في نهاية كل سنة من الآن ،، ولمدة خمسة سنوات ،، اتفق مع الدائن على أن يتخلص من ديونه الآن ،  فما هو المبلغ المطلوب سداده الآن للتخلص من ديونه ؟ يعني ما هي القيمة الحالية للدفعة العادية في بداية مدة الدفعة إذا علمت أن معدل الفائدة السنوي 6% والفائدة يتم تركيبها (إضافتها) سنوياً ؟

الحـــل

نبحث في جدول القيمة الحالية لدفعة دورية عادية عندما تكون الدفعة الدورية العادية تساوي وحدة النقد ،، تقاطع الصف خمسة فترات زمنية مع عمود معدل الفائدة 6% ،، فنجد أن القيمة الحالية هي   4.21236 وهو المبلغ المطلوب سداده

حـــل آخر باستخدام المعادلة

ق ح د عـ قدرها وحدة النقد = 1 ـ (1 + ع) ــ ن = 1 ـ (1 + 0.06) ــ 5
ع 0.06
 
= 1 – 0.747258 = 0.252742 = 4.21236    
0.06 0.06

* لمعرفة قيمة (1 + 0.06) ــ 5 أكتب المعدل 1.06 على الآلة الحاسبة العادية ،، واضغط  على علامة القسمة مرتين ،، ثم اضغط على علامة يساوي خمسة مرات تحصل على 0.747258 أو نبحث في جدول القيمة الحالية عندما يكون المبلغ المركب الوحيد يساوي وحدة النقد ،، تقاطع الصف خمسة فترات زمنية مع عمود معدل الفائدة 6% ،، فنجد أن القيمة الحالية هي   0.74726

* ونعرض فيما يلي جدول يبين القيمة الحالية لدفعة دورية عادية عندما تكون الدفعة الدورية العادية تساوي وحدة النقد مثل دولار واحد أو جنيه واحد ، ومعدل الفائدة المركبة يساوي ع % لكل فترة زمنية ، لمدة ن فترات زمنية متساوية ((سنوات أو شهور الخ ))

جدول يبين القيمة الحالية لدفعة دورية عادية عندما تكون الدفعة الدورية العادية تساوي وحدة النقد

ن 2/1% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7%
1 0.99502 0.99010 0.98039 0.97087  0.96154  0.95238  0.94340  0.93458
2 1.98510 1.97040 1.94156 1.91347  1.88609 1.85941  1.83339  1.80802
3 2.97025 2.94099 2.88388 2.82861  2.77509  2.72325  2.67301  2.62432
4 3.95050 3.90197 3.80773 3.71710  3.62990  3.54595  3.46511  3.38721
5 4.92587 4.85343 4.71346 4.57971  4.45182  4.32948  4.21236  4.10020
6 5.89638 5.79548 5.60143 5.41719  5.24214  5.07569  4.91732  4.76654
7 6.86207 6.72819 6.47199 6.23028  6.00205  5.78637  5.58238  5.38929
8 7.82296 7.65168 7.32548 7.01969  6.73274  6.46321  6.20979  5.97130
9 8.77906 8.56602 8.16224 7.78611  7.43533  7.10782  6.80169  6.51523
10 9.73041 9.47130 8.98259 8.53020  8.11090  7.72173  7.36009  7.02358
11 10.67703 10.36763 9.78685 9.25262  8.76048  8.30641  7.88687  7.49867
12 11.61893 11.25508 10.57534 9.95400  9.38507  8.86325  8.38384  7.94269
13 12.55615 12.13374 11.34837 10.63496  9.98565  9.39357  8.85268  8.35765
14 13.48871 13.00370 12.10625 11.29607 10.56312  9.89864  9.29498  8.74547
15 14.41662 13.86505 12.84926 11.93794 11.11839 10.37966  9.71225  9.10791
16 15.33993 14.71787 13.57771 12.56110 11.65230 10.83777 10.10590  9.44665
17 16.25863 15.56225 14.29187 13.16612 12.16567 11.27407 10.47726  9.76322
18 17.17277 16.39827 14.99203 13.75351 12.65930 11.68959 10.82760 10.05909
19 18.08236 17.22601 15.67846 14.32380 13.13394 12.08532 11.15812 10.33560
20 18.98742 18.04555 16.35143 14.87747 13.59033 12.46221 11.46992 10.59401
21 19.88798 18.85698 17.01121 15.41502 14.02916 12.82115 11.76408 10.83553
22 20.78406 19.66038 17.65805 15.93692 14.45112 13.16300 12.04158 11.06124
23 21.67568 20.45582 18.29220 16.44361 14.85684 13.48857 12.30338 11.27219
24 22.56287 21.24339 18.91393 16.93554 15.24696 13.79864 12.55036 11.46933
25 23.44564 22.02316 19.52346 17.41315 15.62208 14.09394 12.78336 11.65358
26 24.32402 22.79520 20.12104 17.87684 15.98277 14.37519 13.00317 11.82578
27 25.19803 23.55961 20.70690 18.32703 16.32959 14.64303 13.21053 11.98671
28 26.06769 24.31644 21.28127 18.76411 16.66306 14.89813 13.40616 12.13711
29 26.93302 25.06579 21.84438 19.18845 16.98371 15.14107 13.59072 12.27767
30 27.79405 25.80771 22.39646 19.60044 17.29203 15.37245 13.76483 12.40904
31 28.65080 26.54229 22.93770 20.00043 17.58849 15.59281 13.92909 12.53181
32 29.50328 27.26959 23.46833 20.38877 17.87355 15.80268 14.08404 12.64656
33 30.35153 27.98969 23.98856 20.76579 18.14765 16.00255 14.23023 12.75379
                 

جدول يبين القيمة الحالية لدفعة دورية عادية عندما تكون الدفعة الدورية العادية تساوي وحدة النقد

ن 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14%
1 0.92593 0.91743 0.90909 0.90090 0.89286 0.88496 0.87719
2 1.78326 1.75911 1.73554 1.71252 1.69005 1.66810 1.64666
3 2.57710 2.53129 2.48685 2.44371 2.40183 2.36115 2.32163
4 3.31213 3.23972 3.16987 3.10245 3.03735 2.97447 2.91371
5 3.99271 3.88965 3.79079 3.69590 3.60478 3.51723 3.43308
6 4.62288 4.48592 4.35526 4.23054 4.11141 3.99755 3.88867
7 5.20637 5.03295 4.86842 4.71220 4.56376 4.42261 4.28830
8 5.74664 5.53482 5.33493 5.14612 4.96764 4.79877 4.63886
9 6.24689 5.99525 5.75902 5.53705 5.32825 5.13166 4.94637
10 6.71008 6.41766 6.14457 5.88923 5.65022 5.42624 5.21612
11 7.13896 6.80519 6.49506 6.20652 5.93770 5.68694 5.45273
12 7.53608 7.16073 6.81369 6.49236 6.19437 5.91765 5.66029
13 7.90378 7.48690 7.10336 6.74987 6.42355 6.12181 5.84236
14 8.24424 7.78615 7.36669 6.98187 6.62817 6.30249 6.00207
15 8.55948 8.06069 7.60608 7.19087 6.81086 6.46238 6.14217
16 8.85137 8.31256 7.82371 7.37916 6.97399 6.60388 6.26506
17 9.12164 8.54363 8.02155 7.54879 7.11963 6.72909 6.37286
18 9.37189 8.75563 8.20141 7.70162 7.24967 6.83991 6.46742
19 9.60360 8.95011 8.36492 7.83929 7.36578 6.93797 6.55037
20 9.81815 9.12855 8.51356 7.96333 7.46944 7.02475 6.62313
21 10.01680 9.29224 8.64869 8.07507 7.56200 7.10155 6.68696
22 10.20074 9.44243 8.77154 8.17574 7.64465 7.16951 6.74294
23 10.37106 9.58021 8.88322 8.26643 7.71843 7.22966 6.79206
24 10.52876 9.70661 8.98474 8.34814 7.78432 7.28288 6.83514
25 10.67478 9.82258 9.07704 8.42174 7.84314 7.32998 6.87293
26 10.80998 9.92897 9.16095 8.48806 7.89566 7.37167 6.90608
27 10.93516 10.02658 9.23722 8.54780 7.94255 7.40856 6.93515
28 11.05108 10.11613 9.30657 8.60162 7.98442 7.44120 6.96066
29 11.15841 10.19828 9.36961 8.65011 8.02181 7.47009 6.98304
30 11.25778 10.27365 9.42691 8.69379 8.05518 7.49565 7.00266
31 11.34980 10.34280 9.47901 8.73315 8.08499 7.51828 7.01988
32 11.43500 10.40624 9.52638 8.76860 8.11159 7.53830 7.03498
33 11.51389 10.46444 9.56943 8.80054 8.13535 7.55602 7.04823

.

مثال

شخص يسدد مائة جنيه في نهاية كل سنة من الآن ،، ولمدة خمسة سنوات ،، اتفق مع الدائن على أن يتخلص من ديونه الآن ،،  فما هو المبلغ المطلوب سداده الآن للتخلص من ديونه ؟ يعني ما هي القيمة الحالية للدفعة العادية إذا علمت أن معدل الفائدة السنوي 6% والفوائد يتم تركيبها (إضافتها) سنوياً ؟

الحـــل

نبحث في جدول القيمة الحالية لدفعة دورية عادية عندما تكون الدفعة الدورية العادية تساوي وحدة النقد ،، تقاطع الصف خمسة فترات زمنية  مع عمود معدل الفائدة 6% ،، فنجد أن القيمة الحالية هي   4.21236 وهو المبلغ المطلوب سداده

Pvoa of 100 pound = 4.21236   × 100 = 421.23

المبلغ المطلوب سداده  =  421.23 وهو القيمة الحالية للدفعة العادية مائة جنيه ،، والخصم هو 78.77 جنيه  ((عبارة عن 500 – 421.23 ))

مثال

شخص يريد أن يستلم من البنك في نهاية كل شهر مبلغ مائة جنيه ،، ولمدة سنتين ونصف سنة ،، ما هو المبلغ الذي يجب عليه أن يعطيه للبنك لتحقيق رغبته ،، إذا علمت أن معدل الفائدة السنوي 12% والفوائد يتم تركيبها شهرياً ؟

الحـــل

معدل الفائدة الشهري = 12% ÷ 12 = 1%

مدة الدفعة العادية = 2.5 سنة × 12 شهر = 30 شهراً

نبحث في جدول القيمة الحالية لدفعة دورية عادية ،، تقاطع الصف 30 فترة زمنية مع عمود معدل الفائدة 1% ،، فنجد أن القيمة الحالية هي 25.80771

المبلغ الذي يجب عليه أن يعطيه للبنك = 100 جنيه × 25.80771 = 2580.77 جنيه

مثال

شخص أشترى سيارة ودفع دفعة مقدمة عند الشراء 5 ألف جنيه على أن يدفع كل شهر مبلغ ألف جنيه ،، ولمدة سنتين ونصف سنة ،، ما هي القيمة النقدية لهذه السيارة ،، إذا علمت أن معدل الفائدة السنوي 12% والفوائد يتم تركيبها شهرياً ؟

الحـــل

حيث أن هذا الشخص دفع عند الشراء مبلغ خمسة آلاف جنيه ،، لذا يكون أول قسط يدفعه بعد شهر من تاريخ الشراء ،، لذا تكون الدفعة هي دفعة عادية مبلغها الشهري ألف جنيه ولمدة سنتين ونصف سنة

معدل الفائدة الشهري = 12% ÷ 12 = 1%

مدة الدفعة العادية = 2.5 سنة × 12 شهر = 30 شهراً

نبحث في جدول القيمة الحالية لدفعة دورية عادية ،، تقاطع الصف 30 فترة زمنية مع  عمود معدل الفائدة 1% ،، فنجد أن القيمة الحالية هي 25.80771

القيمة الحالية لدفعة عادية مبلغها 1000 جنيه = 1000 جنيه × 25.80771 = 25807.71 جنيه

القيمة النقدية لهذه السيارة = 25807.71 + 5000 = 30807.71 جنيه

مثال

شخص يريد أن يستلم من البنك في نهاية كل شهر مبلغ مائة جنيه ،، ولمدة خمسة سنوات ،، ما هو المبلغ الذي يجب عليه أن يعطيه للبنك لتحقيق رغبته ،، إذا علمت أن معدل الفائدة السنوي 12% والفوائد يتم تركيبها شهرياً ؟

الحـــل

معدل الفائدة الشهري = 12% ÷ 12 = 1%

مدة الدفعة العادية = 5 سنوات × 12 شهر = 60 شهراً

مدة الدفعة تساوي 60 شهراً لكن جدول القيمة الحالية لدفعة دورية عادية المذكور أعلاه لا يحتوي على 60 فترة زمنية ،، لذا نضطر إلى استخدام المعادلة الرياضية أو نقسم مدة الدفعة إلى جزأين ،، الجزء الأول من الدفعة يحتوي على 30 فترة زمنية تبدأ من الفترة الزمنية رقم واحد حتى الفترة الزمنية رقم 30 ،، الجزء الثاني من الدفعة يحتوي على 30 فترة زمنية تبدأ من الفترة الزمنية رقم 31 حتى الفترة الزمنية رقم 60 ،،

* بالبحث في جدول القيمة الحالية لدفعة دورية عادية ،، تقاطع الصف 30 فترة زمنية مع عمود معدل الفائدة 1% نجد أن القيمة الحالية لدفعة عادية قدرها جنيه واحد تساوى 25.80771 جنيه

* القيمة الحالية لدفعة عادية قدرها 100 جنيه = 100 × 25.80771 = 2580.77

* القيمة الحالية للجزء الأول من الدفعة = 100 × 25.80771 = 2580.77

* القيمة الحالية للجزء الثاني من الدفعة لمدة 30 فترة زمنية تساوي 2580.77 في تاريخ بداية مدة الجزء الثاني من الدفعة نعتبرها مبلغ وحيد نريد إيجاد القيمة الحالية له في تاريخ بداية مدة الجزء الأول من الدفعة ،، بالبحث في جدول القيمة الحالية عندما يكون المبلغ المركب الوحيد يساوي وحدة النقد ،، تقاطع الصف30  فترة زمنية مع عمود معدل الفائدة 1% نجد أن القيمة الحالية لجنيه واحد تساوى 0.74192

* القيمة الحالية للجزء الثاني من الدفعة في بداية مدة الجزء الأول من الدفعة = 2580.77  × 0.74192 = 1914.72 جنيه

* القيمة الحالية للدفعة تساوي القيمة الحالية للجزء الأول من الدفعة في تاريخ بداية الدفعة  + القيمة الحالية للجزء الثاني من الدفعة في تاريخ بداية مدة الدفعة = 2580.77 + 1914.72 = 4495.49 جنيه وهذا هو المبلغ الذي يجب أن يعطيه للبنك

4 / 4 القيمة الحالية لدفعة دورية مقدمة (ق ح د م)

Present value of an annuity due  ( Pvad)

شخص مدين يسدد جنيه واحد في بداية كل سنة من الآن ولمدة خمسة سنوات اتفق مع الدائن على أن يتخلص من ديونه الآن ،،  فما هو المبلغ المطلوب سداده الآن للتخلص من ديونه ؟ يعني ما هي القيمة الحالية للدفعة المقدمة إذا علمت أن معدل الفائدة السنوي 6% والفوائد يتم تركيبها سنوياً ؟

الحـــل

لحساب القيمة الحالية للدفعة المقدمة بالطريقة المستخدمة في الجدول التالي فإننا ننظر إلى كل مبلغ دفعة منفرد على حدة وكأنه مبلغ وحيد ،، ثم نحسب القيمة الحالية لهذا المبلغ الوحيد في بداية مدة الدفعة باستخدام القيمة الحالية لمبلغ وحيد يساوي وحدة النقد  PV = (1 + i)-n ثم نجمع القيم الحالية على بعضها البعض ،، ولاشك أن النظر إلى كل مبلغ دفعة منفرد على حدة وكأنه مبلغ وحيد يعتبر طريقة طويلة ومضيعة للوقت ،، ولكن لا بد من استخدامها عندما يكون كل تدفق نقدي مختلف عن الآخر ( يعني في سنة يتم دفع جنيه ولكن في سنة تالية يتم دفع ثلاثة جنيه مثلاً)

القيمة الحالية للدفعة الأولى (1.06)0 = 1.00000
القيمة الحالية للدفعة الثانية  (1.06)1 = 0.94340
القيمة الحالية للدفعة الثالثة  (1.06)-2 = 0.89000
القيمة الحالية للدفعة الرابعة  (1.06)-3 = 0.83962
القيمة الحالية للدفعة الخامسة (1.06)-4 = 0.79209
القيمة الحالية للدفعة (المجموع)   4.46511

،، والمثال المذكور أعلاه يشير إلى دفعة مقدمة مدتها خمسة سنوات لنفترض إنها تبدأ من أول يناير سنة 2010  ،، وتنتهي في أول يناير سنة 2015  ،، ومكونة من خمسة دفعات سنوية وأول دفعة يتم دفعها في أول يناير سنة 2010 وهو بداية السنة الأولى ،، والدفعة الخامسة والأخيرة يتم دفعها في أول يناير سنة 2014 وهو بداية السنة الخامسة ،،

وعندما نقول القيمة الحالية للدفعة الدورية المقدمة فإن القيمة الحالية تكون في بداية مدة الدفعة في أول يناير سنة 2010  ،، وبناء عليه فإن مدة الدفعة الأولى تساوي صفر لأنه سيتم دفعها في أول يناير سنة 2010 وهو بداية السنة الأولى وهو أيضاً بداية مدة الدفعة

،، ومدة الدفعة الثانية تكون سنة واحدة لأنه سيتم دفعها في أول يناير سنة 2011  وهو بداية السنة الثانية ،، والمدة بين بداية السنة الثانية وبداية مدة الدفعة تساوي سنة واحدة ،، ومدة الدفعة الثالثة تكون سنتين لأنه سيتم دفعها في أول يناير سنة 2012  وهو بداية السنة الثالثة ،، والمدة بين بداية السنة الثالثة وبداية مدة الدفعة تساوي سنتين ،، ومدة الدفعة الرابعة تكون ثلاثة سنوات لأنه سيتم دفعها في أول يناير سنة 2013  وهو بداية السنة الرابعة ،، والمدة بين بداية السنة الرابعة وبداية مدة الدفعة تساوي ثلاثة سنوات ،، ومدة الدفعة الخامسة تكون أربعة سنوات لأنه سيتم دفعها في أول يناير سنة 2014 وهو بداية السنة الخامسة ،، والمدة بين بداية السنة الخامسة وبداية مدة الدفعة تساوي أربعة سنوات

حساب القيمة الحالية للدفعة المقدمة بالطريقة المستخدمة في المثال السابق يكون صعباً ومضيعا للوقت ،، لذا من الأفضل أن نستخدم المعادلة المذكورة أدناه  لحساب القيمة الحالية للدفعة المقدمة في خطوة واحدة

ق ح د م قدرها جنيه واحد = ق ح د عـ (1 + ع )

Pvad = Pvoa  (1 + i)

مثال

شخص مدين يسدد مائة جنيه في بداية كل سنة من الآن ولمدة خمسة سنوات اتفق مع الدائن على أن يتخلص من ديونه الآن ،  فما هو المبلغ المطلوب سداده الآن للتخلص من ديونه ؟ يعني ما هي القيمة الحالية للدفعة المقدمة إذا علمت أن معدل الفائدة السنوي 6% والفوائد يتم تركيبها (إضافتها) سنوياً ؟

الحـــل

ق ح د عـ قدرها وحدة النقد = 1 ـ (1 + ع) ــ ن = 1 ـ (1 + 0.06) ــ 5
ع 0.06
 
= 1 – 0.747258 = 0.252742 = 4.21236    
0.06 0.06

القيمة الحالية لدفعة عادية قدرها 100 جنيه = 100 × 4.21236 = 421.236

ق ح د م = ق ح د عـ (1 + ع ) = 421.236 × (1 + 0.06) = 421.236 × 1.06 = 446.51 جنيه

المبلغ المطلوب سداده =446.50 وهو القيمة الحالية للدفعة المقدمة مائة جنيه

Pvoa of 100 pound = 4.21236 × 100 = 421.236

Pvad = Pvoa  (1 + i) = 421.236 × 1.06 = 446.51

حل آخر

عدد الفترات خمسة ،، اطرح فترة واحدة منها ،، لتصبح أربعة فترات ،، ثم ابحث في جدول القيمة الحالية لدفعة دورية عادية ،، تقاطع الصف أربعة فترات مع عمود معدل الفائدة 6% ،، فتجد أن القيمة الحالية هي 3.46511  ثم أضف واحد إليها لتصبح 4.46511 ثم اضرب هذا الرقم في مائة

4/5  الدفعة المؤجلة deferred annuity

الدفعة التي يبدأ دفعها بعد مرور أكثر من فترة دورية واحدة يطلق عليها الدفعة المؤجلة ،، ومن الأسهل عند حل المسائل أن ننظر إلى الدفعة المؤجلة على إنها دفعة عادية مؤجلة deferred ordinary annuity يعني الدفعة التي يتم دفعها في نهاية كل فترة دفع دورية ((في نهاية كل فترة دورية)) ولكن مدة الدفعة لا تبدأ إلا بعد مرور مدة زمنية من الآن ،، على سبيل المثال رجل أقترض مبلغ معين في أول يناير سنة 2000 وقد وافق على أن يسدد القرض على خمسة دفعات سنوية متساوية ولكن أول دفعة يبدأ دفعها بعد ثلاثة سنوات من تاريخ حصوله على القرض ،، والمدة ما بين تاريخ حصوله على القرض الآن (أول يناير سنة 2000) وتاريخ بداية مدة الدفعة العادية (أول يناير سنة 2002) تسمى مدة التأجيل deferment period  وهي تساوي سنتين ،، ومدة الدفعة العادية هي خمسة سنوات تبدأ من أول يناير سنة 2002 وتستمر حتى أول يناير سنة 2007  وأول دفعة تكون في أول يناير سنة 2003

جملة الدفعة المؤجلة (القيمة المستقبلية للدفعة المؤجلة) هي القيمة النهائية في نهاية مدة الدفعة وتشتمل على كل الدفعات مضافاً إليها الفوائد المتراكمة ،، وبذلك فإن جملة الدفعة المؤجلة هي نفس جملة الدفعة العادية

مثال

دفعة سنوية تساوي 100 جنيه وعدد الدفعات يساوي خمسة دفعات وأول دفعة يبدأ دفعها بعد ثلاثة سنوات من الآن ،، ومعدل الفائدة السنوي 6% ،، ما هي جملة الدفعة المؤجلة (القيمة المستقبلية للدفعة المؤجلة)

الحل

مدة التأجيل هي سنتين ولا يوجد دفع أثناء مدة التأجيل ،، لذا عند حساب القيمة المستقبلية للدفعة المؤجلة نتجاهل مدة التأجيل ونعتبر الدفعة المؤجلة كما لو كانت دفعة عادية القيمة المستقبلية تكون في نهاية مدة الدفعة ،، ومدة الدفعة العادية هي خمسة سنوات تبدأ بعد سنتين من الآن ،،

بالبحث في جدول القيمة المستقبلية للدفعة الدورية العادية عندما تكون الدفعة الدورية العادية تساوي وحدة النقد تقاطع الصف 5 فترات زمنية مع عمود معدل الفائدة 6%

نجد أن القيمة المستقبلية لدفعة عادية قدرها جنيه واحد تساوى 5.63709 جنيه

القيمة المستقبلية لدفعة مائة جنيه = 100 × 5.63709 = 563.70 جنيه

مثال

دفعة سنوية تساوي 100 جنيه وعدد الدفعات يساوي خمسة دفعات وأول دفعة يبدأ دفعها بعد ثلاثة سنوات من الآن ،، ومعدل الفائدة السنوي 6% ،، ما هي القيمة الحالية للدفعة الآن

الحل

القيمة الحالية للدفعة المؤجلة هي القيمة في بداية مدة التأجيل ،، وليس القيمة في بداية مدة الدفعة ،، لذا الخطوة الأولى هي أن نجد القيمة الحالية للدفعة المؤجلة في بداية مدة الدفعة ،، ثم ننظر إلى هذه القيمة على إنها مبلغ وحيد نريد معرفة القيمة الحالية له في بداية مدة التأجيل

* نبحث في جدول القيمة المستقبلية للدفعة الدورية العادية  ،، تقاطع الصف 5 فترات زمنية مع عمود معدل الفائدة 6%   ،، فنجد أن القيمة الحالية هي 4.21236

القيمة الحالية لدفعة دورية عادية قدرها 100جنيه في بداية مدة الدفعة = 100 × 4.21236 = 421.23 جنيه

* مبلغ 421.23 جنيه هو مبلغ وحيد والخطوة التالية هي إننا نريد معرفة القيمة الحالية له في بداية مدة التأجيل وهي سنتين

نبحث في جدول القيمة الحالية عندما يكون المبلغ المركب الوحيد يساوي وحدة النقد ،، تقاطع الصف اثنين فترة زمنية مع عمود معدل الفائدة 6% ،، فنجد أن القيمة الحالية هي   0.89000

القيمة الحالية للدفعة المؤجلة في بداية مدة التأجيل = 421.23 ×0.89000 = 374.89

الجزء الثالث : الدفعة الدائمة  perpetuity 

الدفعة الدائمة  هي دفعة دورية  كعائد على مبلغ مستثمر مع الاحتفاظ بأصل المبلغ المستثمر دون المساس به وبافتراض ثبات معدل الفائدة ،، الدفعة الدائمة تكون غير محدودة المدة  حيث تبدأ في تاريخ محدد ومعروف ولكن يتم دفعها إلى الأبد بدون نهاية زمنية ،، فلا توجد نهاية لمدة الدفعة لذا يطلق عليها الدفعة الدائمة ،، وحيث لا توجد نهاية لمدة الدفعة الدائمة لذا لا يمكن تحديد قيمتها المستقبلية ،، ولكننا نستطيع أن نحدد القيمة الحالية للدفعة الدائمة في بداية المدة الغير محدودة ،، الدفعة الدائمة تنقسم إلى دفعة دائمة بسيطة ودفعة دائمة معقدة ،،  ولأن الدفعة الدائمة هي نوع من أنواع الدفعة الدورية لذا يمكن تصنيفها إلى دفعة دائمة عادية ودفعة دائمة مقدمة ودفعة دائمة مؤجلة

الدفعة الدائمة البسيطة simple perpetuity

عندما يتم دفع الدفعة الدائمة (الفائدة) في نهاية كل فترة فائدة فإن الدفعة الدائمة يطلق عليها الدفعة الدائمة العادية البسيطة simple ordinary perpetuity ونستخدم معادلة الفائدة البسيطة في حساب الدفعة الدائمة العادية البسيطة (الفائدة) طالما أن الفائدة يتم سحبها في نهاية كل فترة زمنية

الفائدة البسيطة يتم حسابها باستخدام المعادلة التالية :

الفائدة =  أصل المبلغ ×  معدل الفائدة × المُدة

ف =  أ ×  ع × ن

وطالما أن الفائدة يتم سحبها في نهاية كل فترة زمنية لذا (ن) هي فترة زمنية واحدة (الواحد الصحيح) لذا معادلة الفائدة البسيطة يمكن تعديلها كما يلي :

الفائدة =  أصل المبلغ ×  معدل الفائدة

ف =  أ ×  ع  

أ = ف / ع = ف ÷ ع

مثال

ما هي القيمة الحالية لدفعة دائمة عادية بسيطة تساوي 2000 جنيه يتم دفعها في نهاية كل سنة إذا كان معدل الفائدة السنوي 8%

الحل

أ = ف/ع = 2000 / 0.08 = 25000 جنيه

لذا إذا كنت تريد الحصول على دخل سنوي يساوي 2000 جنيه سنوياً إلى الأبد ،، وسعر الفائدة المتوقع هو 8 % وتتوقع إنه سيكون معدل ثابت لا يتغير ،، فإن كل ما تحتاج إيداعه في البنك هو مبلغ 25000 جنيه (حاصل قسمة 2000 ÷ 0.08)

،، ومبلغ 25000 جنيه يمثل أصل المبلغ المطلوب في البداية لتوليد دخل سنوي يساوي 2000 جنيه سنوياً ،، وأصل المبلغ المطلوب في البداية يطلق عليه القيمة الحالية لدفعة دائمة بسيطة

مثال

ما هي القيمة الحالية لدفعة دائمة مقدمة بسيطة تساوي 2000 جنيه يتم دفعها في بداية كل سنة إذا كان معدل الفائدة السنوي 8%

الحل

نوجد أولاً القيمة الحالية لدفعة دائمة عادية بسيطة

أ = ف/ع = 2000 / 0.08 = 25000 جنيه

نضيف مبلغ 2000 جنيه إلى مبلغ 25000 جنيه لنحصل على مبلغ 27000 جنيه يمثل القيمة الحالية لدفعة دائمة مقدمة بسيطة حيث أن المستثمر سيأخذ مبلغ 2000 جنيه في بداية الاستثمار ويتبقى مبلغ 25000 جنيه يمثل القيمة الحالية لدفعة دائمة عادية بسيطة

 

الجزء الرابع : استهلاك القرض عن طريق تقسيطه إلى دفعات عادية (مؤخرة)

* استهلاك القرض loan amortization يعني سداده ،، واستهلاك القرض على دفعة دورية يعني أن القرض يتم سداده على دفعات متساوية وفترات زمنية متساوية على سبيل المثال دفعات شهرية أو ربع سنوية أو نصف سنوية أو سنوية ،، وكل دفعة دورية عادية تتكون من جزأين ،، الجزء الأول هو الفوائد على هذا الجزء الغير مسدد من أصل القرض ،، والجزء الثاني هو الجزء المسدد من أصل القرض

 

* معادلة إيجاد الدفعة العادية عندما يكون أصل القرض يساوي جنيه واحد ومعدل الفائدة المركبة ع % لكل فترة زمنية ، لمدة ن فترات زمنية متساوية

الدفعة العادية = معدل الفائدة  
1 – ( 1  +معدل الفائدة)– ن

أصل القرض  principal (P)  وهو النقود المقترضة  borrowing money وفي المعادلة المذكورة أعلاه افترضنا أن أصل القرض يساوي وحدة النقد (جنيه واحد أو دولار واحد) ولكن إذا كان أصل القرض يساوي أي رقم بخلاف الواحد الصحيح نستخدم المعادلة المذكورة أدناه

الدفعة العادية = معدل الفائدة × أصل القرض   
1 – ( 1  +معدل الفائدة)– ن

أصل القرض  principal (P)  وهو النقود المقترضة  borrowing money

سعر الفائدة (معدل الفائدة) r) or (i)) rate of interest

عدد الفترات الدورية (عدد الدفعات) (number of periods (n

مثال

رجل أقترض جنيه واحد الآن ،، يريد تقسيطه على 12 دفعة شهرية عادية (مؤخرة)  ،، بمعدل فائدة سنوي 6%  على الرصيد المتبقي بعد كل سداد

الحل

أصل القرض =  جنيه واحد

مدة القرض = 12 شهراً

معدل الفائدة السنوي 6 %

لذا معدل الفائدة الشهري = 2/1 % = 0.005

لحساب الدفعة الشهرية نستخدم المعادلة التالية :

الدفعة الشهرية العادية = معدل الفائدة = 0.005
1 – ( 1  +معدل الفائدة)– ن 1 – (1 + 0.005)-12 
 
= 0.005 = 0.005 = 0.005 = 0.08606643
1 – (1.005)-12  1 – 0.941905339 0.05809494661

* ملحوظة                                                                      

أكتب الرقم  1.005 على الآلة الحاسبة العادية ،، واضغط  على علامة القسمة مرتين ،، ثم اضغط على علامة يساوي 12 مرة تحصل على 0.941905339

* الدفعة 0.08606643 جنيه هي دفعة عادية (مؤخرة) يعني لو كان القرض تم الحصول عليه في أول يناير 2015 فإن أول دفعة يتم سدادها في أول فبراير 2015  ،،

مثال

رجل أقترض 1000 جنيه الآن ،، يريد تقسيطه على 12 دفعة شهرية عادية (مؤخرة)  ،، بمعدل فائدة سنوي 6%  على الرصيد المتبقي بعد كل سداد

الحل

من المثال السابق وجدنا إنه عندما كان أصل القرض جنيه واحد ،، فإن الدفعة الشهرية العادية (المؤخرة) كانت 0.08606643 وذلك باستخدام المعادلة الرياضية

* قيمة الدفعة العادية (المؤخرة) عندما يكون أصل القرض ألف جنيه  = 1000 جنيه × 0.08606643 = 86.066 جنيه وهذا المبلغ هو الدفعة العادية (المؤخرة) التي يجب دفعها في نهاية كل شهر

* الدفعة 86.066 جنيه هي دفعة عادية (مؤخرة) يعني لو كان القرض تم الحصول عليه في أول يناير 2015 فإن أول دفعة يتم سدادها في أول فبراير 2015  ،،

حل آخر

نبحث في جدول استهلاك القرض (المذكور أدناه) وهو جدول يبين الدفعة الدورية العادية عندما يكون أصل القرض يساوي وحدة النقد ،، تقاطع الصف 12 فترة زمنية مع عمود معدل الفائدة  1/2% ،، فنحصل على مُعامل الدفعة العادية (قيمة الدفعة لكل جنيه قرض) وهو يساوي 0.08606643

* قيمة الدفعة العادية (المؤخرة) = أصل القرض × مُعامل الدفعة العادية (المؤخرة) = 1000 جنيه × 0.08606643 = 86.066 جنيه وهذا المبلغ هو الدفعة العادية (المؤخرة) التي يجب دفعها في نهاية كل شهر ،، ونعرض فيما يلي جدول استهلاك القرض عن طريق تقسيطه إلى دفعات عادية (مؤخرة)

جدول يبين الدفعة الدورية العادية عندما يكون أصل القرض (القيمة الحالية للدفعات) يساوي وحدة النقد

21/4 % 11/2  % 1 % 3/4 % 1/2  % n
1.0225000 1.0150000 1.0100000 1.0075000 1.0050000 1
0.51693758 0.51127792 0.50751244 0.50563200 0.50375312 2
0.34844458 0.34338296 0.34002211 0.33834579 0.33667221 3
0.26421893 0.25944479 0.25628109 0.25470501 0.25313279 4
0.21370021 0.20908932 0.20603980 0.20452242 0.20300997 5
0.18003496 0.17552521 0.17254837 0.17106891 0.16959546 6
0.15600025 0.15155616 0.14862828 0.14717488 0.14572843 7
0.13798462 0.13358402 0.13069029 0.12925552 0.12782886 8
0.12398170 0.11960982 0.11674036 0.11531929 0.11390736 9
0.11278768 0.10843418 0.10558208 0.10417123 0.10277057 10
0.10363649 0.09929384 0.09645408 0.09505094 0.09365903 11
0.09601740 0.09167999 0.08884879 0.08745148 0.08606643 12
0.08957686 0.08524036 0.08241482 0.08102188 0.07964224 13
0.08406230 0.07972332 0.07690117 0.07551146 0.07413609 14
0.07928852 0.07494436 0.07212378 0.07073639 0.06936436 15
0.07511663 0.07076508 0.06794460 0.06655879 0.06518937 16
0.07144039 0.06707966 0.06425806 0.06287321 0.06150579 17
0.06817720 0.06380578 0.06098205 0.05959766 0.05823173 18
0.06526182 0.06087847 0.05805175 0.05666740 0.05530253 19
0.06264207 0.05824574 0.05541531 0.05403063 0.05266645 20
0.06027572 0.05586550 0.05303075 0.05164543 0.05028163 21
0.05812821 0.05370332 0.05086372 0.04947748 0.04811380 22
0.05617097 0.05173075 0.04888584 0.04749846 0.04613465 23
0.05438023 0.04992410 0.04707347 0.04568474 0.04432061 24
0.05273599 0.04826345 0.04540675 0.04401650 0.04265186 25
0.05122134 0.04673196 0.04386888 0.04247693 0.04111163 26
0.04982188 0.04531527 0.04244553 0.04105176 0.03968565 27
0.04852525 0.04400108 0.04112444 0.03972871 0.03836167 28
0.04732081 0.04277878 0.03989502 0.03849723 0.03712914 29
0.04619934 0.04163919 0.03874811 0.03734816 0.03597892 30
0.04515280 0.04057430 0.03767573 0.03627352 0.03490304 31
0.04417415 0.03957710 0.03667089 0.03526634 0.03389453 32
0.04325722 0.03864144 0.03572744 0.03432048 0.03294727 33
0.04239655 0.03776189 0.03483997 0.03343053 0.03205586 34
0.07158731 0.03693363 0.03400368 0.03259170 0.03121550 35
0.04082522 0.03615240 0.03321431 0.03179973 0.03042194 36
0.04010643 0.03541437 0.03246805 0.03105082 0.02967139 37
0.03942753 0.03471613 0.03176150 0.03034157 0.02986045 38
0.03878543 0.03405463 0.03109160 0.02966893 0.02828607 39
0.03817738 0.03342710 0.03045560 0.02903016 0.02764552 40
0.03760087 0.03283106 0.02985102 0.02842276 0.02703631 41
0.03705364 0.03226426 0.02927563 0.02784452 0.02645622 42

 

 

 

    جدول يبين الدفعة الدورية العادية عندما يكون أصل القرض (القيمة الحالية للدفعات) يساوي وحدة النقد

9 % 6 % 41/2   % 3 % n
1.0900000 1.0600000 1.0450000 1.0300000 1
0.56846890 0.54543689 0.53399756 0.52261084 2
0.39505476 0.37410981 0.36377336 0.35353036 3
0.30866866 0.28859149 0.27874365 0.26902705 4
0.25709246 0.23739640 0.22779164 0.21835457 5
0.22291978 0.20336263 0.19387839 0.18459750 6
0.19869052 0.17913502 0.16970147 0.16050635 7
0.18067438 0.16103594 0.15160965 0.14245639 8
0.16679880 0.14702224 0.13757447 0.12843386 9
0.15582009 0.13586796 0.12637882 0.11723051 10
0.14694666 0.12679294 0.11724818 0.10807745 11
0.13965066 0.11927703 0.10966619 0.10046209 12
0.13356656 0.11296011 0.10327535 0.09402954 13
0.12843317 0.10758491 0.09782032 0.08852634 14
0.12405888 0.10296276 0.09311381 0.08376658 15
0.12029991 0.09895214 0.08901537 0.07961085 16
0.11704625 0.09544480 0.08541758 0.07595253 17
0.11421229 0.09235654 0.08223690 0.07270870 18
0.11173041 0.08962086 0.07940734 0.06981388 19
0.10954648 0.08718456 0.07687614 0.06721571 20
0.10761663 0.08500455 0.07460057 0.06487178 21
0.10590499 0.08304557 0.07254565 0.06274739 22
0.10438188 0.08127848 0.07068249 0.06081390 23
0.10302256 0.07967900 0.06898703 0.05904742 24
0.10180625 0.07822672 0.06743903 0.05742787 25
0.10071536 0.07690435 0.06602137 0.05593829 26
0.09973491 0.07569717 0.06471946 0.05456421 27
0.09885205 0.07459255 0.06352081 0.05329323 28
0.09805572 0.07357961 0.06241461 0.05211467 29
0.09733635 0.07264891 0.06139154 0.05101926 30
0.09668560 0.07179222 0.06044345 0.04999893 31
0.09609619 0.07100234 0.05956320 0.04904662 32
0.09556173 0.07027294 0.05874453 0.04815612 33
0.09507660 0.06959843 0.05798191 0.04732196 34
0.09463584 0.06897386 0.05727045 0.04653929 35
0.09423505 0.06839483 0.05660578 0.04580379 36
0.09387033 0.06785743 0.05598402 0.04511162 37
0.09353820 0.06735812 0.05540169 0.04445934 38
0.09323555 0.06689377 0.05485567 0.04384385 39
0.09295961 0.06646154 0.05434315 0.04326238 40
0.09270789 0.06605886 0.05386158 0.04271241 41
0.09247814 0.06568342 0.05340868 0.04219167 42

إخلاء مسئولية الكاتب

هذا المقال لا يقدم أي استشارة خاصة أو أي منهج دراسي رسمي ،، وإنما يقدم معلومات عامة للقراءة فقط  لا يترتب عليها أي علاقة قانونية مع القارئ ،،

اقرأ أيضاً

تأمين الحياة ،، تأمين الحياة والمطالبات ،، تأمين الحياة والقروض ،،  تأمين الحياة والشروط التعاقدية ،، تأمين الحياة وإرشادات أساسية ،، إعادة تأمين الحياة ،، دفعات الحياة ،، المعاشات

فيديو مقال الرياضة المالية

نبيل محمد مختار عبد الفتاح

الأستاذ: نبيل محمد مختار عبد الفتاح
تاريخ الميلاد: 6/2/1959
المؤهلات: بكالوريوس تجارة شعبة المحاسبة 1984 جامعة الإسكندرية.
- زميل معهد التأمين القانوني بلندن F.C.I.I.
الخبرات: 31 سنة خبرة في مجال التأمين، حياة ولا حياة، مدير المطالبات بشركة مصر لتأمينات الحياة.
المؤلفات:
- إعادة التأمين والطرق البديلة (نشر شخصي – مكتبة لبنان)
- أساسيات المحاسبة (نشر شخصي – مكتبة لبنان)
- تأمين الحياة (منشأة المعارف بالإسكندرية)
- أساسيات التأمين (تحت النشر)